Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости тел одинаковы, то...

Рассмотрим энергию цилиндров. В начале движения каждый цилиндр обладает кинетической энергией, которая складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения:

$$E_k = E_{k,пост} + E_{k,вращ} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$

где:

• (m) - масса цилиндра
• (v) - скорость центра масс цилиндра
• (I) - момент инерции цилиндра
• \(\omega\) - угловая скорость вращения цилиндра

Так как цилиндры катятся без проскальзывания, то существует связь между линейной и угловой скоростями: \(v = R\omega\), где (R) - радиус цилиндра. Тогда:

$$E_k = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\frac{v^2}{R^2} = \frac{1}{2}mv^2\left(1 + \frac{I}{mR^2}\right)$$

Когда цилиндр поднимается на горку, его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию: (E_p = mgh), где (h) - высота, на которую поднимется цилиндр. Таким образом, выполняется закон сохранения энергии: (E_k = E_p), или:

$$\frac{1}{2}mv^2\left(1 + \frac{I}{mR^2}\right) = mgh$$

Отсюда можно выразить высоту:

$$h = \frac{v^2}{2g}\left(1 + \frac{I}{mR^2}\right)$$

Из этой формулы видно, что высота подъема зависит от момента инерции (I). Момент инерции полого цилиндра (I_{полый} = mR^2), а момент инерции сплошного цилиндра \(I_{сплошной} = \frac{1}{2}mR^2\). Подставим эти значения в формулу для высоты:

Для полого цилиндра:

$$h_{полый} = \frac{v^2}{2g}\left(1 + \frac{mR^2}{mR^2}\right) = \frac{v^2}{2g}(1 + 1) = \frac{v^2}{g}$$

Для сплошного цилиндра:

$$h_{сплошной} = \frac{v^2}{2g}\left(1 + \frac{\frac{1}{2}mR^2}{mR^2}\right) = \frac{v^2}{2g}\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{3v^2}{4g}$$

Сравним высоты подъема:

$$\frac{v^2}{g} > \frac{3v^2}{4g}$$

Так как (h_{полый} > h_{сплошной}), то выше поднимется полый цилиндр.

Ответ: выше поднимется полый цилиндр