1. Прочитав это письмо, я чуть с ума не сошёл.
* Обособленное обстоятельство: «Прочитав это письмо» выделяется запятой.
2. Я пустился в город, пришпоривая бедного моего коня.
* Обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом: «пришпоривая бедного моего коня» выделяется запятыми.
3. Прискакав в город, я отправился прямо к генералу и опрометью к нему вбежал.
* Обособленное обстоятельство: «Прискакав в город» выделяется запятой.
4. Генерал ходил взад и вперёд по комнате, куря свою пенковую трубку.
* Обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом: «куря свою пенковую трубку» выделяется запятыми.
5. Увидя меня, он остановился.
* Обособленное обстоятельство: «Увидя меня» выделяется запятой.
6. Я испугался, увидя его, завлечённого в военные рассуждения, и спешил его прервать.
* Обособленное обстоятельство: «увидя его» выделяется запятой.
* Обособленное определение, выраженное причастным оборотом: «завлечённого в военные рассуждения» выделяется запятыми.