Некоторые слова с частицей не пишутся слитно, если без не слово не употребляется или если не образует нового слова с противоположным значением. В остальных случаях не с глаголами пишется раздельно.
1. Недоедал — слово с приставкой недо-, означающей неполноту действия (съел не всё). Пишется слитно.
2. Не доглядеть — глагол с частицей не. Пишется раздельно, так как можно добавить зависимое слово: не доглядеть (за кем?) за больным.
3. Нездоровится — без не не употребляется. Пишется слитно.
4. Не долюбливать — глагол с частицей не. Пишется раздельно, так как можно добавить зависимое слово: не долюбливать (кого?) соседа.
5. Не дослышать — глагол с приставкой недо-, означающей неполноту действия (услышал не до конца). Пишется слитно.
Ответ: Малыш недоедал суп и просил сладкого, не доглядеть за больным, мне нездоровится, не долюбливать соседа, недослышать историю.