Спасаясь от охотников, 10 кроликов разбежались независимо друг от друга в три разные норы. В каком из интервалов лежит вероятность указанного события? Событие Нет пустых нор В первой норе три кролика Ровно одна нора пуста В одной норе четыре кролика, в остальных — поровну В одной норе два кролика, в остальных — поровну Вероятность [0; 0,3) [0,2; 0,4) [0,4; 0,6) [0,6; 0,8) [0,8; 1]

Решение:

Для решения этой задачи необходимо рассчитать вероятности каждого события. Поскольку кролики разбегаются независимо друг от друга, мы можем использовать формулу Бернулли или биномиальное распределение. Предположим, что каждый кролик выбирает одну из трех нор с равной вероятностью \( \frac{1}{3} \).

Общее число способов распределить 10 кроликов по 3 норам равно \( 3^{10} \).

1. Нет пустых нор

Это означает, что в каждой норе есть хотя бы один кролик. Число таких распределений можно найти, используя формулу включений-исключений или числа Стирлинга второго рода. Число сюръективных отображений 10 элементов на 3: \( 3^{10} - \binom{3}{1} 2^{10} + \binom{3}{2} 1^{10} = 59049 - 3 × 1024 + 3 × 1 = 59049 - 3072 + 3 = 55980 \).

Вероятность: \( P(\text{нет пустых нор}) = \frac{55980}{3^{10}} = \frac{55980}{59049} ≈ 0.948 \).

Это значение лежит в интервале [0,8; 1].

2. В первой норе три кролика

Сначала выбираем 3 кролика для первой норы: \( \binom{10}{3} \) способов. Оставшиеся 7 кроликов могут распределиться по двум оставшимся норам \( 2^7 \) способами. Но нужно исключить случаи, когда одна из оставшихся нор пуста. Поэтому число способов: \( \binom{10}{3} \times (2^7 - 2) = 120 × (128 - 2) = 120 × 126 = 15120 \).

Вероятность: \( P(\text{в первой норе 3 кролика}) = \frac{15120}{59049} ≈ 0.256 \).

Это значение лежит в интервале [0,2; 0,4).

3. Ровно одна нора пуста

Сначала выбираем, какая из трех нор будет пустой (3 способа). Затем оставшиеся 10 кроликов должны распределиться по двум оставшимся норам так, чтобы ни одна из них не была пустой. Число таких распределений равно \( 2^{10} - 2 = 1024 - 2 = 1022 \).

Общее число способов: \( 3 × 1022 = 3066 \).

Вероятность: \( P(\text{ровно одна нора пуста}) = \frac{3066}{59049} ≈ 0.0519 \).

Это значение лежит в интервале [0; 0,3).

4. В одной норе четыре кролика, в остальных — поровну

Это означает, что распределение может быть (4, 3, 3). Сначала выбираем нору, в которую попадут 4 кролика (3 способа). Затем выбираем 4 кролика из 10: \( \binom{10}{4} \). Оставшиеся 6 кроликов распределяются поровну в две оставшиеся норы: \( \binom{6}{3} \) способов для одной норы, оставшиеся 3 — для другой. Но так как норы равнозначны, делим на 2! (если бы мы не выбрали заранее, какая нора с 4 кроликами). Но мы выбрали. Так что: \( 3 × \binom{10}{4} × \binom{6}{3} = 3 × 210 × 20 = 3 × 4200 = 12600 \).

Вероятность: \( P(\text{4, 3, 3}) = \frac{12600}{59049} ≈ 0.213 \).

Это значение лежит в интервале [0,2; 0,4).

5. В одной норе два кролика, в остальных — поровну

Это означает, что распределение может быть (2, 4, 4). Сначала выбираем нору, в которую попадут 2 кролика (3 способа). Затем выбираем 2 кролика из 10: \( \binom{10}{2} \). Оставшиеся 8 кроликов распределяются поровну в две оставшиеся норы: \( \binom{8}{4} \) способов для одной норы, оставшиеся 4 — для другой. Но так как норы равнозначны, делим на 2! (если бы мы не выбрали заранее, какая нора с 2 кроликами). Но мы выбрали. Так что: \( 3 × \binom{10}{2} × \binom{8}{4} = 3 × 45 × 70 = 3 × 3150 = 9450 \).

Вероятность: \( P(\text{2, 4, 4}) = \frac{9450}{59049} ≈ 0.160 \).

Это значение лежит в интервале [0,2; 0,4).

Ответ: 1. [0,8; 1]; 2. [0,2; 0,4); 3. [0; 0,3); 4. [0,2; 0,4); 5. [0,2; 0,4).