СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА § 14. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА 14.1. 1) В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Най- дите угол В, если ∠C= 33°, ∠AKC = 110°. 2) Внешний угол при основании равнобедренного тре- угольника равен 100°. Найдите угол при основании, не смежный с данным внешним углом. 14.2. 1) Отрезок ВК является биссектрисой треугольника АВС, ∠A = 68°, ∠ВКА = 81°. Найдите угол С треугольника. 2) Угол при основании равнобедренного треугольника равен 70°. Чему равен внешний угол при основании тре- угольника, не смежный с данным углом? 14.3. 1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС ∠A = 54°. Найдите угол НВС, где ВН высота треуголь- ника. 2) Внешний угол при основании равнобедренного тре- угольника на 20° больше одного из углов при основании треугольника. Найдите углы при основании. 14.4. 1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС ∠B = 64°. Найдите угол АМС, где СМ биссектриса тре- угольника. 2) Один из углов при основании равнобедренного тре- угольника на 40° меньше внешнего угла при основании. Найдите внешний угол при основании. 14.5. 1) В треугольнике АВС биссектрисы АК и ВМ пересека- ются в точке О. Найдите угол С треугольника, если ZKOB = 70°. 2) В треугольнике АВС точка D лежит на стороне ВС, причем AD = DC. Сумма внешних углов при вершине А равна 160°. Найдите угол С, если AD биссектриса угла ВАС. 14.6. 1) В треугольнике АВС высоты АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите угол АОВ, если углы А и В треуголь ника равны соответственно 72° и 60°

14.1

1)

1. Найдем угол A в треугольнике AKC, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

   \[\angle A = 180^\circ - \angle C - \angle AKC = 180^\circ - 33^\circ - 110^\circ = 37^\circ\]

2. Так как AK - биссектриса, угол BAC в два раза больше угла A:

   \[\angle BAC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 37^\circ = 74^\circ\]

3. Найдем угол B в треугольнике ABC:

   \[\angle B = 180^\circ - \angle BAC - \angle C = 180^\circ - 74^\circ - 33^\circ = 73^\circ\]

Ответ: 73°

2)

1. Внешний угол при основании равен 100°, тогда угол при основании равен:

   \[180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\]

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, несмежный с данным внешним углом угол также равен 80°.

Ответ: 80°

14.2

1)

1. В треугольнике ABK найдем угол ABK:

   \[\angle ABK = 180^\circ - \angle A - \angle BKA = 180^\circ - 68^\circ - 81^\circ = 31^\circ\]

2. Так как BK - биссектриса, угол ABC в два раза больше угла ABK:

   \[\angle ABC = 2 \cdot \angle ABK = 2 \cdot 31^\circ = 62^\circ\]

3. В треугольнике ABC найдем угол C:

   \[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle ABC = 180^\circ - 68^\circ - 62^\circ = 50^\circ\]

Ответ: 50°

2)

1. Угол при основании равен 70°, тогда внешний угол при основании равен:

   \[180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\]

Ответ: 110°

14.3

1)

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:

   \[\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = \frac{180^\circ - 54^\circ}{2} = \frac{126^\circ}{2} = 63^\circ\]

2. Так как BH - высота, треугольник BHC - прямоугольный, и угол BHC равен 90°.

3. В треугольнике BHC найдем угол HBC:

   \[\angle HBC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ\]

Ответ: 27°

2)

1. Пусть угол при основании равен x, тогда внешний угол при основании равен x + 20°.

2. Так как внешний угол и угол при основании - смежные, их сумма равна 180°:

   \[x + (x + 20^\circ) = 180^\circ\]

   \[2x + 20^\circ = 180^\circ\]

   \[2x = 160^\circ\]

   \[x = 80^\circ\]

Ответ: Углы при основании равны 80°.

14.4

1)

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:

   \[\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - 64^\circ}{2} = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ\]

2. Так как CM - биссектриса, угол ACM равен половине угла C:

   \[\angle ACM = \frac{\angle C}{2} = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ\]

3. В треугольнике AMC найдем угол AMC:

   \[\angle AMC = 180^\circ - \angle A - \angle ACM = 180^\circ - 58^\circ - 29^\circ = 93^\circ\]

Ответ: 93°

2)

1. Пусть угол при основании равен x, тогда внешний угол при основании равен x + 40°.

2. Так как угол при основании на 40° меньше внешнего угла при основании, то:

   \[x = \frac{180^\circ}{2} - 20^\circ\]

   \[x = 90^\circ - 20^\circ\]

   \[x = 70^\circ\]

3. Найдем внешний угол при основании:

   \[180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\]

Ответ: Внешний угол при основании равен 110°.

14.5

1)

1. Так как AK и BM - биссектрисы, то углы OAK и OBA равны половине углов A и B соответственно.

2. В треугольнике AOB найдем угол AOB:

   \[\angle AOB = 180^\circ - \angle OAK - \angle OBA\]

3. Так как сумма углов AOB и KOB равна 180°:

   \[\angle AOB = 180^\circ - \angle KOB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\]

4. Найдем сумму углов A и B:

   \[\angle A + \angle B = 2 \cdot (\angle OAK + \angle OBA) = 2 \cdot (180^\circ - \angle AOB) = 2 \cdot (180^\circ - 110^\circ) = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ\]

5. В треугольнике ABC найдем угол C:

   \[\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\]

Ответ: 40°

2)

1. Сумма внешних углов при вершине A равна 160°, тогда внешний угол при вершине A равен:

   \[\frac{160^\circ}{2} = 80^\circ\]

2. Найдем угол BAC:

   \[180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\]

3. Так как AD - биссектриса, угол BAD равен половине угла BAC:

   \[\frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\]

4. Так как AD = DC, треугольник ADC - равнобедренный, и углы DAC и DCA равны.

   \[\angle DAC = \angle DCA = 50^\circ\]

5. Найдем угол C:

   \[\angle C = 50^\circ\]

Ответ: 50°

14.6

1)

1. В четырехугольнике AKOB углы AKO и BMO прямые, так как AK и BM - высоты, следовательно, их сумма равна 180°.

2. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, тогда:

   \[\angle AOB = 360^\circ - \angle AKO - \angle BMO - \angle A - \angle B = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 72^\circ - 60^\circ = 48^\circ\]

Ответ: 138°