Solve the triangle. (Figure shows a right-angled triangle with angle 30 degrees, hypotenuse 17 cm, and one of the other angles marked with a question mark. The right angle is marked with a square and labelled B. The angle 30 degrees is opposite side AC. Side BC is adjacent to the 30 degree angle and opposite the angle marked with a question mark. Side AC is opposite the 30 degree angle and adjacent to the angle marked with a question mark. Side AB is the hypotenuse and is 17cm.)

Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), где \( \angle B = 90^{\circ} \) и \( \angle C = 30^{\circ} \). Гипотенуза \( AB = 17 \) см.

1. Найдем неизвестные углы:

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике один угол равен \( 90^{\circ} \), поэтому сумма двух острых углов равна \( 90^{\circ} \).

\( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \)

2. Найдем длины катетов:

Используем тригонометрические функции синуса и косинуса:

Для катета \( BC \), противолежащего углу \( 30^{\circ} \):

\( \sin(C) = \frac{BC}{AB} \)

\( \sin(30^{\circ}) = \frac{BC}{17} \)

\( BC = 17 \cdot \sin(30^{\circ}) = 17 \cdot \frac{1}{2} = 8.5 \) см.

Для катета \( AC \), прилежащего к углу \( 30^{\circ} \):

\( \text{cos}(C) = \frac{AC}{AB} \)

\( \text{cos}(30^{\circ}) = \frac{AC}{17} \)

\( AC = 17 \cdot \text{cos}(30^{\circ}) = 17 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17 \cdot 0.866 \approx 14.72 \) см.

Ответ: Угол A = 60°, Катет BC = 8.5 см, Катет AC ≈ 14.72 см.