Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаSolve the systems of equations: 1) {10x - 3y = 5, -6x - 3y = -27 2) {5x + 4y = -22, 5x - 2y = -4 3) {21a - 30b = -6, 23a - 40b = -28 4) {6u + 5v = 10, 5u - 6v = 49 5) {3m - 4n = 3, -8m + 7n = 3 6) {0.5x - 0.3y = -1, 1.5x + 0.4y = 10 7) {0.2a + 0.1b = -1, 1.2a + 0.3b = -1
Ответ:
Решение систем уравнений:
- Система 1:
\[ \begin{cases} 10x - 3y = 5 \\ -6x - 3y = -27 \end{cases} \]Вычтем второе уравнение из первого:
\[ (10x - 3y) - (-6x - 3y) = 5 - (-27) \]
\[ 10x - 3y + 6x + 3y = 32 \]
\[ 16x = 32 \]
\[ x = \frac{32}{16} = 2 \]
Подставим x = 2 во второе уравнение:
\[ -6(2) - 3y = -27 \]
\[ -12 - 3y = -27 \]
\[ -3y = -27 + 12 \]
\[ -3y = -15 \]
\[ y = \frac{-15}{-3} = 5 \]
Ответ: (2; 5)
- Система 2:
\[ \begin{cases} 5x + 4y = -22 \\ 5x - 2y = -4 \end{cases} \]Вычтем второе уравнение из первого:
\[ (5x + 4y) - (5x - 2y) = -22 - (-4) \]
\[ 5x + 4y - 5x + 2y = -18 \]
\[ 6y = -18 \]
\[ y = \frac{-18}{6} = -3 \]
Подставим y = -3 в первое уравнение:
\[ 5x + 4(-3) = -22 \]
\[ 5x - 12 = -22 \]
\[ 5x = -22 + 12 \]
\[ 5x = -10 \]
\[ x = \frac{-10}{5} = -2 \]
Ответ: (-2; -3)
- Система 3:
\[ \begin{cases} 21a - 30b = -6 \\ 23a - 40b = -28 \end{cases} \]Умножим первое уравнение на 4, второе на 3, чтобы привести коэффициенты при 'b' к общему значению -120:
\[ 4(21a - 30b) = 4(-6) \rightarrow 84a - 120b = -24 \]
\[ 3(23a - 40b) = 3(-28) \rightarrow 69a - 120b = -84 \]
Вычтем второе модифицированное уравнение из первого:
\[ (84a - 120b) - (69a - 120b) = -24 - (-84) \]
\[ 84a - 120b - 69a + 120b = -24 + 84 \]
\[ 15a = 60 \]
\[ a = \frac{60}{15} = 4 \]
Подставим a = 4 в первое исходное уравнение:
\[ 21(4) - 30b = -6 \]
\[ 84 - 30b = -6 \]
\[ -30b = -6 - 84 \]
\[ -30b = -90 \]
\[ b = \frac{-90}{-30} = 3 \]
Ответ: (4; 3)
- Система 4:
\[ \begin{cases} 6u + 5v = 10 \\ 5u - 6v = 49 \end{cases} \]Умножим первое уравнение на 6, второе на 5, чтобы привести коэффициенты при 'v' к общему значению 30:
\[ 6(6u + 5v) = 6(10) \rightarrow 36u + 30v = 60 \]
\[ 5(5u - 6v) = 5(49) \rightarrow 25u - 30v = 245 \]
Сложим два модифицированных уравнения:
\[ (36u + 30v) + (25u - 30v) = 60 + 245 \]
\[ 36u + 25u = 305 \]
\[ 61u = 305 \]
\[ u = \frac{305}{61} = 5 \]
Подставим u = 5 в первое исходное уравнение:
\[ 6(5) + 5v = 10 \]
\[ 30 + 5v = 10 \]
\[ 5v = 10 - 30 \]
\[ 5v = -20 \]
\[ v = \frac{-20}{5} = -4 \]
Ответ: (5; -4)
- Система 5:
\[ \begin{cases} 3m - 4n = 3 \\ -8m + 7n = 3 \end{cases} \]Умножим первое уравнение на 8, второе на 3, чтобы привести коэффициенты при 'm' к общему значению 24:
\[ 8(3m - 4n) = 8(3) \rightarrow 24m - 32n = 24 \]
\[ 3(-8m + 7n) = 3(3) \rightarrow -24m + 21n = 9 \]
Сложим два модифицированных уравнения:
\[ (24m - 32n) + (-24m + 21n) = 24 + 9 \]
\[ -32n + 21n = 33 \]
\[ -11n = 33 \]
\[ n = \frac{33}{-11} = -3 \]
Подставим n = -3 в первое исходное уравнение:
\[ 3m - 4(-3) = 3 \]
\[ 3m + 12 = 3 \]
\[ 3m = 3 - 12 \]
\[ 3m = -9 \]
\[ m = \frac{-9}{3} = -3 \]
Ответ: (-3; -3)
- Система 6:
\[ \begin{cases} 0.5x - 0.3y = -1 \\ 1.5x + 0.4y = 10 \end{cases} \]Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при 'x' были одинаковыми:
\[ 3(0.5x - 0.3y) = 3(-1) \rightarrow 1.5x - 0.9y = -3 \]
Вычтем модифицированное первое уравнение из второго:
\[ (1.5x + 0.4y) - (1.5x - 0.9y) = 10 - (-3) \]
\[ 1.5x + 0.4y - 1.5x + 0.9y = 13 \]
\[ 1.3y = 13 \]
\[ y = \frac{13}{1.3} = 10 \]
Подставим y = 10 в первое исходное уравнение:
\[ 0.5x - 0.3(10) = -1 \]
\[ 0.5x - 3 = -1 \]
\[ 0.5x = -1 + 3 \]
\[ 0.5x = 2 \]
\[ x = \frac{2}{0.5} = 4 \]
Ответ: (4; 10)
- Система 7:
\[ \begin{cases} 0.2a + 0.1b = -1 \\ 1.2a + 0.3b = -1 \end{cases} \]Умножим первое уравнение на 6, чтобы привести коэффициенты при 'a' к общему значению 1.2:
\[ 6(0.2a + 0.1b) = 6(-1) \rightarrow 1.2a + 0.6b = -6 \]
Вычтем второе исходное уравнение из модифицированного первого:
\[ (1.2a + 0.6b) - (1.2a + 0.3b) = -6 - (-1) \]
\[ 1.2a + 0.6b - 1.2a - 0.3b = -5 \]
\[ 0.3b = -5 \]
\[ b = \frac{-5}{0.3} = -\frac{50}{3} \]
Подставим b = -50/3 в первое исходное уравнение:
\[ 0.2a + 0.1(-\frac{50}{3}) = -1 \]
\[ 0.2a - \frac{5}{3} = -1 \]
\[ \frac{1}{5}a = -1 + \frac{5}{3} \]
\[ \frac{1}{5}a = -\frac{3}{3} + \frac{5}{3} \]
\[ \frac{1}{5}a = \frac{2}{3} \]
\[ a = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3} \]
Ответ: (10/3; -50/3)
