Solve the system of linear equations: x + 5y + 3z = -1 3x + y - 5z = -3 -2x - 3y + z = 2

Решение:

Решим систему методом Гаусса.

1. Выпишем расширенную матрицу системы:

[ 1  5  3 | -1 ]
[ 3  1 -5 | -3 ]
[-2 -3  1 |  2 ]

2. Выполним преобразования для приведения матрицы к ступенчатому виду:
• R2 = R2 - 3*R1
• R3 = R3 + 2*R1

[ 1   5   3 | -1 ]
[ 0 -14 -14 |  0 ]
[ 0   7   7 |  0 ]

3. Сократим вторую и третью строки:
• R2 = R2 / -14
• R3 = R3 / 7

[ 1  5  3 | -1 ]
[ 0  1  1 |  0 ]
[ 0  1  1 |  0 ]

4. Вычтем третью строку из второй:
• R3 = R3 - R2

[ 1  5  3 | -1 ]
[ 0  1  1 |  0 ]
[ 0  0  0 |  0 ]

5. Получили две независимые строки, что означает наличие бесконечного множества решений. Выразим переменные через параметр. Пусть \( z = t \), где \( t \) — любое действительное число.
6. Из второй строки: \( y + z = 0 \) \(\implies\) \( y = -z = -t \).
7. Из первой строки: \( x + 5y + 3z = -1 \) \(\implies\) \( x = -1 - 5y - 3z \) \(\implies\) \( x = -1 - 5(-t) - 3t = -1 + 5t - 3t = -1 + 2t \).

Ответ: Система имеет бесконечное множество решений вида \( x = -1 + 2t \), \( y = -t \), \( z = t \), где \( t \) — любое действительное число.