Solve the system of equations: y = 3x^2 - 1 2x + y = 9

Решение системы уравнений

У нас есть система из двух уравнений:

1) \( y = 3x^2 - 1 \)

2) \( 2x + y = 9 \)

Для решения этой системы мы можем использовать метод подстановки. Из второго уравнения выразим \( y \):

\[ y = 9 - 2x \]

Теперь подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение:

\[ 9 - 2x = 3x^2 - 1 \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 3x^2 + 2x - 1 - 9 = 0 \]

\[ 3x^2 + 2x - 10 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 3 \), \( b = 2 \), \( c = -10 \).

\[ D = 2^2 - 4(3)(-10) = 4 + 120 = 124 \]

Так как \( D > 0 \), у нас будет два действительных корня.

Найдем корни по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{124}}{2(3)} = \frac{-2 + \sqrt{4 \cdot 31}}{6} = \frac{-2 + 2\sqrt{31}}{6} = \frac{-1 + \sqrt{31}}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{124}}{2(3)} = \frac{-2 - 2\sqrt{31}}{6} = \frac{-1 - \sqrt{31}}{3} \]

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставляя найденные \( x \) во второе уравнение \( y = 9 - 2x \).

Для \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{31}}{3} \):

\[ y_1 = 9 - 2\left(\frac{-1 + \sqrt{31}}{3}\right) = 9 - \frac{-2 + 2\sqrt{31}}{3} = \frac{27 - (-2 + 2\sqrt{31})}{3} = \frac{27 + 2 - 2\sqrt{31}}{3} = \frac{29 - 2\sqrt{31}}{3} \]

Для \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{31}}{3} \):

\[ y_2 = 9 - 2\left(\frac{-1 - \sqrt{31}}{3}\right) = 9 - \frac{-2 - 2\sqrt{31}}{3} = \frac{27 - (-2 - 2\sqrt{31})}{3} = \frac{27 + 2 + 2\sqrt{31}}{3} = \frac{29 + 2\sqrt{31}}{3} \]

Ответ: Система имеет два решения:

1) \( x = \frac{-1 + \sqrt{31}}{3}, \quad y = \frac{29 - 2\sqrt{31}}{3} \)

2) \( x = \frac{-1 - \sqrt{31}}{3}, \quad y = \frac{29 + 2\sqrt{31}}{3} \)