Solve the system of equations: y - 2x = 2, 5x² - y = 1; x - 2y² = 2, 3x + y = 7; 3x² - 2y = 1, 2x - y = 1; 3x² + 2y² = 11, x + 2y = 3;

Решение:

Эта задача содержит четыре отдельные системы уравнений. Решим каждую из них по очереди:

Система 1:

a)

• \[ \begin{cases} y - 2x = 2 \\ 5x^2 - y = 1 \end{cases} \]

Шаг 1: Выразим y из первого уравнения:

• y = 2x + 2

Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение:

• 5x^2 - (2x + 2) = 1
• 5x^2 - 2x - 2 = 1
• 5x^2 - 2x - 3 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(5)(-3) = 4 + 60 = 64
• √ D = 8

Шаг 4: Найдем корни уравнения:

• x1 = (2 + 8) / (2 * 5) = 10 / 10 = 1
• x2 = (2 - 8) / (2 * 5) = -6 / 10 = -0.6

Шаг 5: Найдем соответствующие значения y, подставив x в уравнение y = 2x + 2:

• Для x1 = 1: y1 = 2(1) + 2 = 4
• Для x2 = -0.6: y2 = 2(-0.6) + 2 = -1.2 + 2 = 0.8

Решение системы 1: (1; 4) и (-0.6; 0.8)

Система 2:

6)

• \[ \begin{cases} x - 2y^2 = 2 \\ 3x + y = 7 \end{cases} \]

Шаг 1: Выразим y из второго уравнения:

• y = 7 - 3x

Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение:

• x - 2(7 - 3x)^2 = 2
• x - 2(49 - 42x + 9x^2) = 2
• x - 98 + 84x - 18x^2 = 2
• -18x^2 + 85x - 98 = 2
• -18x^2 + 85x - 100 = 0
• 18x^2 - 85x + 100 = 0

Шаг 3: Найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-85)^2 - 4(18)(100) = 7225 - 7200 = 25
• √ D = 5

Шаг 4: Найдем корни уравнения:

• x1 = (85 + 5) / (2 * 18) = 90 / 36 = 2.5
• x2 = (85 - 5) / (2 * 18) = 80 / 36 = 20 / 9 ≈ 2.22

Шаг 5: Найдем соответствующие значения y, подставив x в уравнение y = 7 - 3x:

• Для x1 = 2.5: y1 = 7 - 3(2.5) = 7 - 7.5 = -0.5
• Для x2 = 20/9: y2 = 7 - 3(20/9) = 7 - 20/3 = (21 - 20) / 3 = 1/3

Решение системы 2: (2.5; -0.5) и (20/9; 1/3)

Система 3:

B)

• \[ \begin{cases} 3x^2 - 2y = 1 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \]

Шаг 1: Выразим y из второго уравнения:

• y = 2x - 1

Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение:

• 3x^2 - 2(2x - 1) = 1
• 3x^2 - 4x + 2 = 1
• 3x^2 - 4x + 1 = 0

Шаг 3: Найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4
• √ D = 2

Шаг 4: Найдем корни уравнения:

• x1 = (4 + 2) / (2 * 3) = 6 / 6 = 1
• x2 = (4 - 2) / (2 * 3) = 2 / 6 = 1/3

Шаг 5: Найдем соответствующие значения y, подставив x в уравнение y = 2x - 1:

• Для x1 = 1: y1 = 2(1) - 1 = 1
• Для x2 = 1/3: y2 = 2(1/3) - 1 = 2/3 - 1 = -1/3

Решение системы 3: (1; 1) и (1/3; -1/3)

Система 4:

г)

• \[ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11 \\ x + 2y = 3 \end{cases} \]

Шаг 1: Выразим x из второго уравнения:

• x = 3 - 2y

Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение:

• 3(3 - 2y)^2 + 2y^2 = 11
• 3(9 - 12y + 4y^2) + 2y^2 = 11
• 27 - 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11
• 14y^2 - 36y + 27 = 11
• 14y^2 - 36y + 16 = 0
• 7y^2 - 18y + 8 = 0

Шаг 3: Найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4(7)(8) = 324 - 224 = 100
• √ D = 10

Шаг 4: Найдем корни уравнения:

• y1 = (18 + 10) / (2 * 7) = 28 / 14 = 2
• y2 = (18 - 10) / (2 * 7) = 8 / 14 = 4/7

Шаг 5: Найдем соответствующие значения x, подставив y в уравнение x = 3 - 2y:

• Для y1 = 2: x1 = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1
• Для y2 = 4/7: x2 = 3 - 2(4/7) = 3 - 8/7 = (21 - 8) / 7 = 13/7

Решение системы 4: (-1; 2) и (13/7; 4/7)

Ответ:

• a) (1; 4) и (-0.6; 0.8)
• 6) (2.5; -0.5) и (20/9; 1/3)
• B) (1; 1) и (1/3; -1/3)
• г) (-1; 2) и (13/7; 4/7)