Solve the system of equations: \(\frac{3x+y}{3} - \frac{x-3y}{2} = 6\) \(\frac{15x-3y}{4} + \frac{3x+2y}{6} = 3\)

Система уравнений

У нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

1. \( \frac{3x+y}{3} - \frac{x-3y}{2} = 6 \)
2. \( \frac{15x-3y}{4} + \frac{3x+2y}{6} = 3 \)

Шаг 1: Упростим первое уравнение.

Найдем общий знаменатель для дробей (6) и приведем их к нему:

• \( \frac{2(3x+y)}{6} - \frac{3(x-3y)}{6} = 6 \)
• \( \frac{6x+2y - (3x-9y)}{6} = 6 \)
• \( 6x+2y - 3x+9y = 36 \)
• \( 3x + 11y = 36 \)

Шаг 2: Упростим второе уравнение.

Найдем общий знаменатель для дробей (12) и приведем их к нему:

• \( \frac{3(15x-3y)}{12} + \frac{2(3x+2y)}{12} = 3 \)
• \( \frac{45x-9y + 6x+4y}{12} = 3 \)
• \( 51x - 5y = 36 \)

Шаг 3: Решим полученную систему методом подстановки или сложения.

Наша система теперь выглядит так:

• \( 3x + 11y = 36 \)
• \( 51x - 5y = 36 \)

Умножим первое уравнение на 17, чтобы коэффициенты при \( x \) стали одинаковыми:

• \( 17 × (3x + 11y) = 17 × 36 \)
• \( 51x + 187y = 612 \)

Теперь вычтем второе уравнение из этого нового уравнения:

• \( (51x + 187y) - (51x - 5y) = 612 - 36 \)
• \( 51x + 187y - 51x + 5y = 576 \)
• \( 192y = 576 \)
• \( y = \frac{576}{192} \)
• \( y = 3 \)

Шаг 4: Найдем \( x \), подставив значение \( y \) в первое упрощенное уравнение.

• \( 3x + 11y = 36 \)
• \( 3x + 11(3) = 36 \)
• \( 3x + 33 = 36 \)
• \( 3x = 36 - 33 \)
• \( 3x = 3 \)
• \( x = 1 \)

Проверка:

Подставим \( x=1 \) и \( y=3 \) в исходные уравнения:

Уравнение 1:

• \( \frac{3(1)+3}{3} - \frac{1-3(3)}{2} = \frac{3+3}{3} - \frac{1-9}{2} = \frac{6}{3} - \frac{-8}{2} = 2 - (-4) = 2+4 = 6 \) (Верно)

Уравнение 2:

• \( \frac{15(1)-3(3)}{4} + \frac{3(1)+2(3)}{6} = \frac{15-9}{4} + \frac{3+6}{6} = \frac{6}{4} + \frac{9}{6} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) (Верно)

Ответ: \( x=1, y=3 \).