Solve the system of equations: $$\begin{cases} \frac{3x}{4}-\frac{y-3x}{2}=-6 \\ \frac{y-x}{3}-\frac{1}{6}=\frac{y}{2} \end{cases}$$

Пошаговое решение:

Уравнение 1:

• Шаг 1: Приведем к общему знаменателю (4) в левой части:
  \( \frac{3x}{4} - \frac{2(y-3x)}{4} = -6 \)
• Шаг 2: Умножим обе части на 4:
  \( 3x - 2(y-3x) = -24 \)
• Шаг 3: Раскроем скобки и упростим:
  \( 3x - 2y + 6x = -24 \)
  \( 9x - 2y = -24 \) (Уравнение 1')

Уравнение 2:

• Шаг 4: Приведем к общему знаменателю (6) в левой части:
  \( \frac{2(y-x)}{6} - \frac{1}{6} = \frac{y}{2} \)
• Шаг 5: Умножим обе части на 6:
  \( 2(y-x) - 1 = 3y \)
• Шаг 6: Раскроем скобки и упростим:
  \( 2y - 2x - 1 = 3y \)
  \( -2x - y = 1 \) (Уравнение 2')

Решение системы методом подстановки:

• Шаг 7: Из Уравнения 2' выразим y:
  \( y = -2x - 1 \)
• Шаг 8: Подставим это выражение в Уравнение 1':
  \( 9x - 2(-2x - 1) = -24 \)
• Шаг 9: Раскроем скобки и решим относительно x:
  \( 9x + 4x + 2 = -24 \)
  \( 13x = -26 \)
  \( x = -2 \)
• Шаг 10: Найдем y, подставив значение x в выражение для y:
  \( y = -2(-2) - 1 \)
  \( y = 4 - 1 \)
  \( y = 3 \)
• Шаг 11: Проверим решение \( (-2, 3) \) в исходных уравнениях.
  Уравнение 1: \( \frac{3(-2)}{4} - \frac{3-3(-2)}{2} = \frac{-6}{4} - \frac{3+6}{2} = -1.5 - \frac{9}{2} = -1.5 - 4.5 = -6 \) (Верно).
  Уравнение 2: \( \frac{3-(-2)}{3} - \frac{1}{6} = \frac{5}{3} - \frac{1}{6} = \frac{10-1}{6} = \frac{9}{6} = 1.5 \). \( \frac{y}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \). \( 1.5 = 1.5 \) (Верно).

Ответ: \( (-2, 3) \)