Solve the system of equations: $$ \begin{cases} 3x - y = 2 \\ x^2 - 4x + 8 = y \end{cases} $$

Решение:

У нас есть система уравнений:

1. \( 3x - y = 2 \)
2. \( x^2 - 4x + 8 = y \)

Подставим выражение для \( y \) из второго уравнения в первое:

\[ 3x - (x^2 - 4x + 8) = 2 \]

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

\[ 3x - x^2 + 4x - 8 = 2 \]

\[ -x^2 + 7x - 8 = 2 \]

\[ -x^2 + 7x - 10 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

\[ x^2 - 7x + 10 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \]

Так как \( D > 0 \), у уравнения два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]

Теперь найдём соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \). Воспользуемся вторым уравнением \( y = x^2 - 4x + 8 \).

При \( x_1 = 5 \):

\[ y_1 = 5^2 - 4 \cdot 5 + 8 = 25 - 20 + 8 = 5 + 8 = 13 \]

При \( x_2 = 2 \):

\[ y_2 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 8 = 4 - 8 + 8 = 4 \]

Таким образом, система имеет два решения:

1. \( (5; 13) \)
2. \( (2; 4) \)

Ответ: \( (5; 13), (2; 4) \).