Solve the system of equations: $${\begin{cases} 3x^2 - 2x = y \\ 3x - 2 = y \end{cases}}$$

Решение:

Чтобы решить систему уравнений, приравняем правые части уравнений, так как обе равны \( y \).

\( 3x^2 - 2x = 3x - 2 \)

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 3x^2 - 2x - 3x + 2 = 0 \)

\( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \)

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \).

В нашем уравнении \( a = 3 \), \( b = -5 \), \( c = 2 \).

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \]

Так как \( D > 0 \), у нас будет два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив найденные значения \( x \) в любое из исходных уравнений. Возьмём второе уравнение: \( y = 3x - 2 \).

При \( x_1 = 1 \):

\[ y_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1 \]

При \( x_2 = \frac{2}{3} \):

\[ y_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0 \]

Таким образом, мы получили два решения системы.

Ответ: \( (1, 1) \) и \( (\frac{2}{3}, 0) \).