Solve the system of equations: { 4x + 5y = 11; 3x - 2y = 6; }

Решение:

Данная система уравнений:

\( \begin{cases} 4x + 5y = 11 \\ 3x - 2y = 6 \end{cases} \)

Решим систему методом подстановки.

1. Выразим \( x \) из второго уравнения:

\[ 3x = 6 + 2y \]

\[ x = \frac{6 + 2y}{3} \]

2. Подставим полученное выражение для \( x \) в первое уравнение:

\[ 4\left(\frac{6 + 2y}{3}\right) + 5y = 11 \]

\[ \frac{24 + 8y}{3} + 5y = 11 \]

3. Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 24 + 8y + 15y = 33 \]

\[ 23y = 33 - 24 \]

\[ 23y = 9 \]

\[ y = \frac{9}{23} \]

4. Подставим найденное значение \( y \) в выражение для \( x \):

\[ x = \frac{6 + 2\left(\frac{9}{23}\right)}{3} = \frac{6 + \frac{18}{23}}{3} = \frac{\frac{6 \cdot 23 + 18}{23}}{3} = \frac{\frac{138 + 18}{23}}{3} = \frac{\frac{156}{23}}{3} = \frac{156}{23 \cdot 3} = \frac{156}{69} = \frac{52}{23} \]

Проверка:

4x + 5y = \( 4\left(\frac{52}{23}\right) + 5\left(\frac{9}{23}\right) = \frac{208}{23} + \frac{45}{23} = \frac{253}{23} = 11 \)

3x - 2y = \( 3\left(\frac{52}{23}\right) - 2\left(\frac{9}{23}\right) = \frac{156}{23} - \frac{18}{23} = \frac{138}{23} = 6 \)

Ответ: \( x = \frac{52}{23}, y = \frac{9}{23} \).