Solve the system of equations: 3x^2 - 2x = y 3x - 2 = y

Решение:

Для решения системы уравнений приравняем правые части уравнений, так как обе равны \(y\).

\( 3x^2 - 2x = 3x - 2 \)

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 3x^2 - 2x - 3x + 2 = 0 \)

\( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \)

1. Решим полученное квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \)
2. Здесь \( a = 3 \), \( b = -5 \), \( c = 2 \).
3. \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \)
4. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
5. Найдем корни по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
6. \( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
7. \( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
8. Теперь найдём соответствующие значения \(y\), подставив найденные значения \(x\) во второе уравнение системы: \( y = 3x - 2 \).
9. При \( x_1 = 1 \):

\( y_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1 \)

1. При \( x_2 = \frac{2}{3} \):

\( y_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0 \)

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: \( (1; 1) \) и \( (\frac{2}{3}; 0) \).