Solve the system of equations: { 3x^2 - 2x = y 3x - 2 = y

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 3x^2 - 2x = y \\ 3x - 2 = y \end{cases} \)

Приравняем правые части уравнений, так как обе равны \( y \):

\( 3x^2 - 2x = 3x - 2 \)

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 3x^2 - 2x - 3x + 2 = 0 \)

\( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение, используя дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив найденные \( x \) во второе уравнение системы (\( y = 3x - 2 \)):

При \( x_1 = 1 \):

\( y_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1 \)

При \( x_2 = \frac{2}{3} \):

\( y_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0 \)

Таким образом, система имеет два решения:

1. \( (1; 1) \)
2. \( (\frac{2}{3}; 0) \)

Ответ: \( (1; 1) \) и \( (\frac{2}{3}; 0) \).