Solve the system of equations: 3) { 6y - 5x = 1 20x - 1 + 34y/2 = -4/3 }

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 6y - 5x = 1 \\ 20x - 1 + \frac{34y}{2} = -\frac{4}{3} \end{cases} \)

Упростим второе уравнение:

\( 20x - 1 + 17y = -\frac{4}{3} \)

\( 20x + 17y = 1 - \frac{4}{3} \)

\( 20x + 17y = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \)

\( 20x + 17y = -\frac{1}{3} \)

Теперь система выглядит так:

\( \begin{cases} 6y - 5x = 1 \\ 20x + 17y = -\frac{1}{3} \end{cases} \)

Выразим \( 6y \) из первого уравнения:

\( 6y = 1 + 5x \)

\( y = \frac{1 + 5x}{6} \)

Подставим \( y \) во второе уравнение:

\( 20x + 17 \left( \frac{1 + 5x}{6} \right) = -\frac{1}{3} \)

Умножим обе стороны на 6, чтобы избавиться от дробей:

\( 6 \cdot 20x + 17 \cdot (1 + 5x) = 6 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) \)

\( 120x + 17 + 85x = -2 \)

\( 205x = -2 - 17 \)

\( 205x = -19 \)

\( x = -\frac{19}{205} \)

Теперь найдём \( y \), подставив значение \( x \) в выражение для \( y \):

\( y = \frac{1 + 5 \left( -\frac{19}{205} \right)}{6} \)

\( y = \frac{1 - \frac{95}{205}}{6} \)

\( y = \frac{\frac{205}{205} - \frac{95}{205}}{6} \)

\( y = \frac{\frac{110}{205}}{6} \)

\( y = \frac{110}{205 \cdot 6} \)

\( y = \frac{110}{1230} \)

\( y = \frac{11}{123} \)

Проверим, можно ли упростить \( x \). 205 делится на 5 (41), 19 — простое число. Значит, \( x = -\frac{19}{205} \) не упрощается.

Проверим, можно ли упростить \( y \). 110 = 11 * 10, 123 = 3 * 41. Нет общих множителей. \( y = \frac{11}{123} \) не упрощается.

Проверка:

Первое уравнение: \( 6y - 5x = 6 \left( \frac{11}{123} \right) - 5 \left( -\frac{19}{205} \right) = \frac{66}{123} + \frac{95}{205} \). Упростим дроби: \( \frac{66}{123} = \frac{22}{41} \) (делим на 3), \( \frac{95}{205} = \frac{19}{41} \) (делим на 5). Получаем: \( \frac{22}{41} + \frac{19}{41} = \frac{41}{41} = 1 \). Первое уравнение выполняется.

Второе уравнение: \( 20x - 1 + \frac{34y}{2} = 20 \left( -\frac{19}{205} \right) - 1 + 17 \left( \frac{11}{123} \right) \). Упростим \( 20x \) и \( 17y \): \( 20 \left( -\frac{19}{205} \right) = \frac{20}{205} \left( -19 \right) = \frac{4}{41} \left( -19 \right) = -\frac{76}{41} \). \( 17 \left( \frac{11}{123} \right) = \frac{187}{123} \). Тогда \( -\frac{76}{41} - 1 + \frac{187}{123} \). Приведем к общему знаменателю 123: \( -\frac{76 \times 3}{123} - \frac{123}{123} + \frac{187}{123} = \frac{-228 - 123 + 187}{123} = \frac{-351 + 187}{123} = \frac{-164}{123} \). Не равно \(-4/3\). Ошибка в проверке или решении.

Перепроверим второе уравнение:

\( 20x + 17y = -1/3 \)

\( 20(-\frac{19}{205}) + 17(\frac{11}{123}) = \frac{20 \cdot (-19)}{205} + \frac{17 \cdot 11}{123} = \frac{4 \cdot (-19)}{41} + \frac{187}{123} = -\frac{76}{41} + \frac{187}{123} \)

Общий знаменатель 123:

\( -\frac{76 \cdot 3}{123} + \frac{187}{123} = \frac{-228 + 187}{123} = \frac{-41}{123} \)

\( -\frac{41}{123} = -\frac{1}{3} \).

Второе уравнение выполняется.

Ответ: x = -\(\frac{19}{205}\), y = \(\frac{11}{123}\).