Solve the system of equations: 2x^2 + 3y^2 = 11 4x^2 + 6y^2 = 11x

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 2x^2 + 3y^2 = 11 \\ 4x^2 + 6y^2 = 11x \end{cases} \)

1. Умножим первое уравнение на 2:
2. \( 2 \cdot (2x^2 + 3y^2) = 2 \cdot 11 \)
3. \( 4x^2 + 6y^2 = 22 \)
4. Теперь у нас есть два выражения для \( 4x^2 + 6y^2 \):
5. \( 4x^2 + 6y^2 = 22 \)
6. \( 4x^2 + 6y^2 = 11x \)
7. Приравняем правые части этих уравнений:
8. \( 22 = 11x \)
9. Разделим обе части на 11:
10. \( x = \frac{22}{11} \)
11. \( x = 2 \)
12. Теперь подставим значение \( x = 2 \) в первое уравнение системы, чтобы найти \( y \):
13. \( 2(2)^2 + 3y^2 = 11 \)
14. \( 2(4) + 3y^2 = 11 \)
15. \( 8 + 3y^2 = 11 \)
16. Вычтем 8 из обеих частей:
17. \( 3y^2 = 11 - 8 \)
18. \( 3y^2 = 3 \)
19. Разделим обе части на 3:
20. \( y^2 = 1 \)
21. Извлечем квадратный корень:
22. \( y = \pm \sqrt{1} \)
23. \( y = \pm 1 \)
24. Таким образом, у нас есть два решения: \( (2, 1) \) и \( (2, -1) \).

Ответ: \( (2, 1) \), \( (2, -1) \).