Solve the system of equations: 0.2x - 0.7y = 2 x+1/2 + y-1/3 = 1

Решение:

Дана система уравнений:

• \( 0.2x - 0.7y = 2 \)
• \( \frac{x+1}{2} + \frac{y-1}{3} = 1 \)

Преобразуем второе уравнение, чтобы избавиться от дробей. Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3):

\[ 6 \left( \frac{x+1}{2} + \frac{y-1}{3} \right) = 6 \cdot 1 \]

\[ 3(x+1) + 2(y-1) = 6 \]

\[ 3x + 3 + 2y - 2 = 6 \]

\[ 3x + 2y + 1 = 6 \]

\[ 3x + 2y = 5 \]

Теперь у нас есть новая система уравнений:

• \( 0.2x - 0.7y = 2 \)
• \( 3x + 2y = 5 \)

Умножим первое уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\[ 10(0.2x - 0.7y) = 10 \cdot 2 \]

\[ 2x - 7y = 20 \]

Теперь система выглядит так:

• \( 2x - 7y = 20 \)
• \( 3x + 2y = 5 \)

Выразим \( x \) из второго уравнения:

\[ 3x = 5 - 2y \]

\[ x = \frac{5 - 2y}{3} \]

Подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение:

\[ 2\left( \frac{5 - 2y}{3} \right) - 7y = 20 \]

\[ \frac{2(5 - 2y)}{3} - 7y = 20 \]

Умножим обе части на 3:

\[ 2(5 - 2y) - 21y = 60 \]

\[ 10 - 4y - 21y = 60 \]

\[ 10 - 25y = 60 \]

\[ -25y = 60 - 10 \]

\[ -25y = 50 \]

\[ y = \frac{50}{-25} \]

\[ y = -2 \]

Теперь подставим значение \( y = -2 \) в выражение для \( x \):

\[ x = \frac{5 - 2(-2)}{3} \]

\[ x = \frac{5 + 4}{3} \]

\[ x = \frac{9}{3} \]

\[ x = 3 \]

Проверим полученные значения в исходных уравнениях.

Первое уравнение: \( 0.2(3) - 0.7(-2) = 0.6 + 1.4 = 2 \) (Верно)

Второе уравнение: \( \frac{3+1}{2} + \frac{-2-1}{3} = \frac{4}{2} + \frac{-3}{3} = 2 - 1 = 1 \) (Верно)

Ответ: x = 3, y = -2.