Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Solve the system of equations: \begin{cases} x^2 + y^2 = 40, \\ xy = -12. \end{cases}
Ответ:
Разбираемся:
Краткое пояснение: Чтобы решить систему уравнений, можно использовать метод подстановки или метод сложения. В данном случае удобно выразить одну переменную через другую из второго уравнения и подставить в первое.
Пошаговое решение:
- Выразим \(y\) через \(x\) из второго уравнения: \(y = -\frac{12}{x}\).
- Подставим это выражение в первое уравнение: \(x^2 + \left(-\frac{12}{x}\right)^2 = 40\).
- Упростим уравнение: \(x^2 + \frac{144}{x^2} = 40\).
- Умножим обе части уравнения на \(x^2\), чтобы избавиться от дроби: \(x^4 + 144 = 40x^2\).
- Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение: \(x^4 - 40x^2 + 144 = 0\).
- Сделаем замену \(t = x^2\), тогда уравнение примет вид: \(t^2 - 40t + 144 = 0\).
- Решим квадратное уравнение относительно \(t\). Дискриминант \(D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 1600 - 576 = 1024\).
- Найдем корни \(t_1\) и \(t_2\): \(t_1 = \frac{40 + \sqrt{1024}}{2} = \frac{40 + 32}{2} = 36\), \(t_2 = \frac{40 - \sqrt{1024}}{2} = \frac{40 - 32}{2} = 4\).
- Найдем \(x\) из уравнений \(x^2 = 36\) и \(x^2 = 4\).
- Для \(x^2 = 36\) получаем \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -6\). Для \(x^2 = 4\) получаем \(x_3 = 2\) и \(x_4 = -2\).
- Найдем соответствующие значения \(y\) из уравнения \(y = -\frac{12}{x}\). Если \(x_1 = 6\), то \(y_1 = -\frac{12}{6} = -2\). Если \(x_2 = -6\), то \(y_2 = -\frac{12}{-6} = 2\). Если \(x_3 = 2\), то \(y_3 = -\frac{12}{2} = -6\). Если \(x_4 = -2\), то \(y_4 = -\frac{12}{-2} = 6\).
Ответ: (6, -2), (-6, 2), (2, -6), (-2, 6)
