Solve the integral: $$ \int_{-1}^{1} \frac{\cos x}{1+e^{1/x}} dx $$

Решение:

• Пусть $$I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos x}{1+e^{1/x}} dx$$.
• Используем свойство определенного интеграла: $$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$$.
• В нашем случае $$a = -1$$, $$b = 1$$. Тогда $$a+b-x = -1+1-x = -x$$.
• Заменим $$x$$ на $$-x$$ в подынтегральной функции:
• $$\( \cos(-x) = \cos x \)$$
• $$\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$$
• $$e^{1/(-x)} = e^{-1/x}$$
• Следовательно, $$I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(-x)}{1+e^{-1/x}} dx = \int_{-1}^{1} \frac{\cos x}{1+e^{-1/x}} dx$$.
• Преобразуем знаменатель: $$1+e^{-1/x} = 1 + \frac{1}{e^{1/x}} = \frac{e^{1/x}+1}{e^{1/x}}$$.
• Тогда $$I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos x}{\frac{e^{1/x}+1}{e^{1/x}}} dx = \int_{-1}^{1} \frac{\cos x \cdot e^{1/x}}{1+e^{1/x}} dx$$.
• Теперь сложим два выражения для $$I$$:
• $$2I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos x}{1+e^{1/x}} dx + \int_{-1}^{1} \frac{\cos x \cdot e^{1/x}}{1+e^{1/x}} dx$$
• $$2I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos x (1+e^{1/x})}{1+e^{1/x}} dx$$
• $$2I = \int_{-1}^{1} \cos x dx$$
• Вычислим полученный интеграл:
• $$\int \cos x dx = \sin x$$
• $$2I = [\sin x]_{-1}^{1} = \sin(1) - \sin(-1)$$
• $$2I = \sin(1) - (-\sin(1))$$
• $$2I = 2 \sin(1)$$
• $$I = \sin(1)$$

Ответ: $$\sin(1)$$