Solve the inequality: $$(\sqrt{2} + 1)^{\frac{8x-6}{x+1}} \le (\sqrt{2} + 1)^{-x}$$.

Question

Вопрос:

Solve the inequality: $$(\sqrt{2} + 1)^{\frac{8x-6}{x+1}} \le (\sqrt{2} + 1)^{-x}$$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Рассмотрим данное неравенство: $ (\sqrt{2} + 1)^{\frac{8x-6}{x+1}} \le (\sqrt{2} + 1)^{-x} $.

Основание степени $ a = \sqrt{2} + 1 $. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ a \approx 2.414 $. Поскольку $ a > 1 $, показательная функция $ y = a^x $ является возрастающей. Следовательно, для решения неравенства нужно сравнить показатели степеней:

\[ \frac{8x-6}{x+1} \le -x \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ \frac{8x-6}{x+1} + x \le 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{8x-6 + x(x+1)}{x+1} \le 0 \]

\[ \frac{8x-6 + x^2+x}{x+1} \le 0 \]

\[ \frac{x^2+9x-6}{x+1} \le 0 \]

Теперь найдём корни числителя и знаменателя. Корни знаменателя: $ x+1=0 \Rightarrow x = -1 $.

Корни числителя найдём с помощью квадратного уравнения $ x^2+9x-6=0 $. Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4(1)(-6) = 81 + 24 = 105 \]

Корни числителя:

\[ x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{105}}{2} \]

Таким образом, нам нужно решить неравенство $ \frac{(x - \frac{-9 + \sqrt{105}}{2})(x - \frac{-9 - \sqrt{105}}{2})}{x+1} \le 0 $.

Приблизительные значения корней:

$ \sqrt{105} \approx 10.247 $

\[ x_1 = \frac{-9 - 10.247}{2} = \frac{-19.247}{2} \approx -9.62 \]

\[ x_2 = \frac{-9 + 10.247}{2} = \frac{1.247}{2} \approx 0.62 \]

Разделим числовую прямую на интервалы:

\[ (-\infty, \frac{-9 - \sqrt{105}}{2}], [\frac{-9 - \sqrt{105}}{2}, -1), (-1, \frac{-9 + \sqrt{105}}{2}], [\frac{-9 + \sqrt{105}}{2}, \infty) \]

Проверим знаки выражения $ \frac{x^2+9x-6}{x+1} $ на каждом интервале:

При $ x < -9.62 $ (например, $ x = -10 $): $ \frac{(-10)^2 + 9(-10) - 6}{-10+1} = \frac{100 - 90 - 6}{-9} = \frac{4}{-9} < 0 $.
При $ -9.62 < x < -1 $ (например, $ x = -2 $): $ \frac{(-2)^2 + 9(-2) - 6}{-2+1} = \frac{4 - 18 - 6}{-1} = \frac{-20}{-1} = 20 > 0 $.
При $ -1 < x < 0.62 $ (например, $ x = 0 $): $ \frac{0^2+9(0)-6}{0+1} = \frac{-6}{1} = -6 < 0 $.
При $ x > 0.62 $ (например, $ x = 1 $): $ \frac{1^2+9(1)-6}{1+1} = \frac{1+9-6}{2} = \frac{4}{2} = 2 > 0 $.

Нам нужно, чтобы выражение было $\le 0 $. Значит, подходит интервал $ (-\infty, \frac{-9 - \sqrt{105}}{2}] $ и $ (-1, \frac{-9 + \sqrt{105}}{2}] $. Важно помнить, что $ x
e -1 $.

Ответ: $ x \in \left(-\infty; \frac{-9 - \sqrt{105}}{2}\right] \cup \left(-1; \frac{-9 + \sqrt{105}}{2}\right] $