Solve the inequality: $$ \frac{x^3}{x} + 25 \cdot x < = 10 \cdot x^2 $$

Question

Вопрос:

Solve the inequality: $$ \frac{x^3}{x} + 25 \cdot x < = 10 \cdot x^2 $$

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Данное неравенство имеет вид:

\[ \frac{x^3}{x} + 25 \cdot x \le 10 \cdot x^2 \]

Во-первых, необходимо учесть, что знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $ x \neq 0 $.

Упростим выражение:

\[ x^2 + 25x \le 10x^2 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить неравенство вида $ f(x) \le 0 $:

\[ 0 \le 10x^2 - x^2 - 25x \]
\[ 0 \le 9x^2 - 25x \]

Теперь решим квадратное неравенство $ 9x^2 - 25x \ge 0 $.

Вынесем $ x $ за скобки:

\[ x(9x - 25) \ge 0 \]

Найдем корни уравнения $ x(9x - 25) = 0 $:

$ x = 0 $
$ 9x - 25 = 0 \rightarrow 9x = 25 \rightarrow x = \frac{25}{9} $

Отметим найденные корни на числовой прямой. Поскольку неравенство $ \ge $ (больше или равно), точки $ x = 0 $ и $ x = \frac{25}{9} $ будут включены в решение.

Интервалы:

При $ x < 0 $, например $ x = -1 $: $ (-1)(9(-1) - 25) = (-1)(-9 - 25) = (-1)(-34) = 34 $. $ 34 \ge 0 $ — верно.
При $ 0 < x < \frac{25}{9} $, например $ x = 1 $: $ (1)(9(1) - 25) = 1(9 - 25) = 1(-16) = -16 $. $ -16 \ge 0 $ — неверно.
При $ x > \frac{25}{9} $, например $ x = 3 $: $ (3)(9(3) - 25) = 3(27 - 25) = 3(2) = 6 $. $ 6 \ge 0 $ — верно.

Таким образом, решение неравенства $ x(9x - 25) \ge 0 $ — это $ x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{25}{9}, \infty) $.

Однако, мы помним, что $ x \neq 0 $. Поэтому исключаем $ x=0 $ из решения.

Итоговое решение:

$ x \in (-\infty, 0) \cup [\frac{25}{9}, \infty) $.

Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup [\frac{25}{9}, \infty) $.