Solve the following systems of equations: {\(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) = 5 {\(\frac{2x}{3}\) - \(\frac{y}{2}\) = 1 {\(\frac{x}{3}\) + \(\frac{y}{2}\) = 7 {\(\frac{2x}{3}\) - \(\frac{y}{4}\) = 1

Решение системы №1:

\(\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 5 \\ \frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 1 \end{cases}\)

1. Умножим первое уравнение на 6, а второе на 6, чтобы избавиться от дробей:
• \( 6 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{y}{3}) = 6 \cdot 5 \implies 3x + 2y = 30 \)
• \( 6 \cdot (\frac{2x}{3} - \frac{y}{2}) = 6 \cdot 1 \implies 4x - 3y = 6 \)
2. Теперь решим полученную систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при \(y\) стали противоположными:
• \( 3 \cdot (3x + 2y) = 3 \cdot 30 \implies 9x + 6y = 90 \)
• \( 2 \cdot (4x - 3y) = 2 \cdot 6 \implies 8x - 6y = 12 \)
3. Сложим эти два уравнения:
• \( (9x + 6y) + (8x - 6y) = 90 + 12 \)
• \( 17x = 102 \)
• \( x = \frac{102}{17} = 6 \)
4. Подставим \(x=6\) в первое уравнение \(3x + 2y = 30\):
• \( 3 \cdot 6 + 2y = 30 \)
• \( 18 + 2y = 30 \)
• \( 2y = 30 - 18 \)
• \( 2y = 12 \)
• \( y = 6 \)

Решение системы №1: x = 6, y = 6.

Решение системы №2:

\(\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 7 \\ \frac{2x}{3} - \frac{y}{4} = 1 \end{cases}\)

1. Умножим первое уравнение на 6, а второе на 12, чтобы избавиться от дробей:
• \( 6 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{y}{2}) = 6 \cdot 7 \implies 2x + 3y = 42 \)
• \( 12 \cdot (\frac{2x}{3} - \frac{y}{4}) = 12 \cdot 1 \implies 8x - 3y = 12 \)
2. Сложим эти два уравнения:
• \( (2x + 3y) + (8x - 3y) = 42 + 12 \)
• \( 10x = 54 \)
• \( x = \frac{54}{10} = 5.4 \)
3. Подставим \(x=5.4\) в первое уравнение \(2x + 3y = 42\):
• \( 2 \cdot 5.4 + 3y = 42 \)
• \( 10.8 + 3y = 42 \)
• \( 3y = 42 - 10.8 \)
• \( 3y = 31.2 \)
• \( y = \frac{31.2}{3} = 10.4 \)

Решение системы №2: x = 5.4, y = 10.4.