Solve the following systems of equations: a) { 12x - 7y = 2, 4x - 5y = 6; б) { 7u + 2v = 1, 17u + 6v = -9;

Решение:

а) Система уравнений:

\( \begin{cases} 12x - 7y = 2 \\ 4x - 5y = 6 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \( x \) стали одинаковыми:

\( 3 \cdot (4x - 5y) = 3 \cdot 6 \)

\( 12x - 15y = 18 \)

Теперь вычтем новое второе уравнение из первого:

\( (12x - 7y) - (12x - 15y) = 2 - 18 \)

\( 12x - 7y - 12x + 15y = -16 \)

\( 8y = -16 \)

\( y = \frac{-16}{8} \)

\( y = -2 \)

Подставим значение \( y \) в первое уравнение:

\( 12x - 7(-2) = 2 \)

\( 12x + 14 = 2 \)

\( 12x = 2 - 14 \)

\( 12x = -12 \)

\( x = \frac{-12}{12} \)

\( x = -1 \)

б) Система уравнений:

\( \begin{cases} 7u + 2v = 1 \\ 17u + 6v = -9 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \( v \) стали одинаковыми:

\( 3 \cdot (7u + 2v) = 3 \cdot 1 \)

\( 21u + 6v = 3 \)

Теперь вычтем второе уравнение из нового первого:

\( (21u + 6v) - (17u + 6v) = 3 - (-9) \)

\( 21u + 6v - 17u - 6v = 3 + 9 \)

\( 4u = 12 \)

\( u = \frac{12}{4} \)

\( u = 3 \)

Подставим значение \( u \) во второе уравнение:

\( 17(3) + 6v = -9 \)

\( 51 + 6v = -9 \)

\( 6v = -9 - 51 \)

\( 6v = -60 \)

\( v = \frac{-60}{6} \)

\( v = -10 \)

Ответ: а) \( x = -1, y = -2 \); б) \( u = 3, v = -10 \).