Solve the following systems of equations: 1) x - 3y = 17 5x + 6y = 13 2) 3x + 8y = 11 5x - 2y = 3 3) 6x + 4y = 16 3x - 5y = -6

Решение системы №1:

Дана система уравнений:

• \[ \begin{cases} x - 3y = 17 \\ 5x + 6y = 13 \end{cases} \]

Метод подстановки:

1. Выразим x из первого уравнения:
   \[ x = 17 + 3y \]
2. Подставим полученное выражение во второе уравнение:
   \[ 5(17 + 3y) + 6y = 13 \]
3. Раскроем скобки и решим уравнение относительно y:
   \[ 85 + 15y + 6y = 13 \]
   \[ 21y = 13 - 85 \]
   \[ 21y = -72 \]
   \[ y = -\frac{72}{21} = -\frac{24}{7} \]
4. Подставим значение y обратно в выражение для x:
   \[ x = 17 + 3 \left(-\frac{24}{7}\right) = 17 - \frac{72}{7} = \frac{119 - 72}{7} = \frac{47}{7} \]

Ответ №1:
\[ x = \frac{47}{7}, \quad y = -\frac{24}{7} \]

Решение системы №2:

Дана система уравнений:

• \[ \begin{cases} 3x + 8y = 11 \\ 5x - 2y = 3 \end{cases} \]

Метод сложения:

1. Умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:
   \[ 4 \cdot (5x - 2y) = 4 \cdot 3 \]
   \[ 20x - 8y = 12 \]
2. Сложим первое уравнение системы с новым вторым уравнением:
   \[ (3x + 8y) + (20x - 8y) = 11 + 12 \]
   \[ 23x = 23 \]
   \[ x = 1 \]
3. Подставим значение x в любое из исходных уравнений (возьмем второе):
   \[ 5(1) - 2y = 3 \]
   \[ 5 - 2y = 3 \]
   \[ -2y = 3 - 5 \]
   \[ -2y = -2 \]
   \[ y = 1 \]

Ответ №2:
\[ x = 1, \quad y = 1 \]

Решение системы №3:

Дана система уравнений:

• \[ \begin{cases} 6x + 4y = 16 \\ 3x - 5y = -6 \end{cases} \]

Метод подстановки:

1. Упростим первое уравнение, разделив его на 2:
   \[ 3x + 2y = 8 \]
2. Выразим 3x из упрощенного первого уравнения:
   \[ 3x = 8 - 2y \]
3. Подставим выражение для 3x во второе уравнение:
   \[ (8 - 2y) - 5y = -6 \]
4. Решим уравнение относительно y:
   \[ 8 - 7y = -6 \]
   \[ -7y = -6 - 8 \]
   \[ -7y = -14 \]
   \[ y = 2 \]
5. Подставим значение y обратно в выражение для 3x:
   \[ 3x = 8 - 2(2) \]
   \[ 3x = 8 - 4 \]
   \[ 3x = 4 \]
   \[ x = \frac{4}{3} \]

Ответ №3:
\[ x = \frac{4}{3}, \quad y = 2 \]