Solve the equation: (x-2)(x^2 - 4x + 3) = 12

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Оно выглядит страшно, но на самом деле все проще, чем кажется.

Дано:

• \[ (x-2)(x^2 - 4x + 3) = 12 \]

Решение:

1. Раскроем скобки: Сначала умножим первый множитель $$(x-2)$$ на каждый член второго множителя $$(x^2 - 4x + 3)$$.
   \( x \cdot (x^2 - 4x + 3) - 2 \cdot (x^2 - 4x + 3) = 12 \)
   \( x^3 - 4x^2 + 3x - 2x^2 + 8x - 6 = 12 \)
2. Приведем подобные слагаемые: Сгруппируем одинаковые степени $$x$$.
   \( x^3 + (-4x^2 - 2x^2) + (3x + 8x) - 6 = 12 \)
   \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 12 \)
3. Перенесем все в одну сторону: Чтобы решить уравнение, нам нужно, чтобы справа был ноль.
   \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 - 12 = 0 \)
   \( x^3 - 6x^2 + 11x - 18 = 0 \)
4. Подбор корней: Теперь нам нужно найти корни этого кубического уравнения. Часто корни являются делителями свободного члена (-18). Попробуем подставить некоторые числа:

• Если $$x = 1$$: \( 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 18 = 1 - 6 + 11 - 18 = -12 \) (не подходит)
• Если $$x = 2$$: \( 2^3 - 6(2)^2 + 11(2) - 18 = 8 - 6(4) + 22 - 18 = 8 - 24 + 22 - 18 = -12 \) (не подходит)
• Если $$x = 3$$: \( 3^3 - 6(3)^2 + 11(3) - 18 = 27 - 6(9) + 33 - 18 = 27 - 54 + 33 - 18 = -12 \) (не подходит)
• Если $$x = 4$$: \( 4^3 - 6(4)^2 + 11(4) - 18 = 64 - 6(16) + 44 - 18 = 64 - 96 + 44 - 18 = -16 \) (не подходит)
• Если $$x = 6$$: \( 6^3 - 6(6)^2 + 11(6) - 18 = 216 - 6(36) + 66 - 18 = 216 - 216 + 66 - 18 = 48 \) (не подходит)
• Если $$x = -1$$: \( (-1)^3 - 6(-1)^2 + 11(-1) - 18 = -1 - 6(1) - 11 - 18 = -1 - 6 - 11 - 18 = -36 \) (не подходит)

Возможно, есть ошибка в подборе. Давай попробуем разложить второй множитель на множители, если это возможно.

Дополнительный подход:

Давай попробуем сначала разложить квадратный трехчлен $$x^2 - 4x + 3$$. Его корни можно найти, решив квадратное уравнение $$x^2 - 4x + 3 = 0$$.

Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$$.

Корни: $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$.

$$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 - 2}{2} = 1$$.

Значит, $$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$$.

Теперь наше уравнение выглядит так:

\[ (x-2)(x-1)(x-3) = 12 \]

Перегруппируем множители для удобства:

\[ (x-1)(x-3)(x-2) = 12 \]

Умножим первые два множителя:

\[ (x^2 - 3x - x + 3)(x-2) = 12 \]

\[ (x^2 - 4x + 3)(x-2) = 12 \]

Теперь умножим полученное на $$(x-2)$$:

\[ x(x^2 - 4x + 3) - 2(x^2 - 4x + 3) = 12 \]

\[ x^3 - 4x^2 + 3x - 2x^2 + 8x - 6 = 12 \]

\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 18 = 0 \]

Снова получили то же самое кубическое уравнение. Попробуем снова подобрать корни, используя делители числа 18: $$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$$.

• Если $$x = 3$$: \( 3^3 - 6(3)^2 + 11(3) - 18 = 27 - 54 + 33 - 18 = 0 \) (Подходит!)

Значит, $$x=3$$ — один из корней. Теперь мы можем разделить многочлен $$x^3 - 6x^2 + 11x - 18$$ на $$(x-3)$$.

Деление многочленов (или используем схему Горнера):

При делении $$(x^3 - 6x^2 + 11x - 18) : (x-3)$$ получим $$x^2 - 3x + 6$$.

Таким образом, наше уравнение можно записать как:

\[ (x-3)(x^2 - 3x + 6) = 0 \]

Теперь у нас два варианта:

• Вариант 1: \( x - 3 = 0 \) => \( x = 3 \)
• Вариант 2: \( x^2 - 3x + 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение $$x^2 - 3x + 6 = 0$$. Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(6) = 9 - 24 = -15$$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($$D < 0$$), это квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Итого, у нашего уравнения только один действительный корень.

Ответ: $$x = 3$$