Solve the equation: \(\sqrt{x-1} = x-3\)

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x-1})^2 = (x-3)^2 \)
2. Раскроем скобки: \( x-1 = x^2 - 6x + 9 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 6x - x + 9 + 1 = 0 \)
4. Упростим: \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \)
6. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = 5 \)
7. \( x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = 2 \)
8. Проверим полученные корни в исходном уравнении.
9. Для \( x = 5 \): \( \sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2 \) и \( 5-3 = 2 \). Равенство выполняется.
10. Для \( x = 2 \): \( \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1 \) и \( 2-3 = -1 \). Равенство не выполняется, так как \( 1 \neq -1 \).
11. Следовательно, \( x = 2 \) является посторонним корнем.

Ответ: x = 5.