Solve the equation: \(\sqrt{5x - 10} = 2 - x\)

Решение:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{5x - 10})^2 = (2 - x)^2 \)
2. Упростим: \( 5x - 10 = 4 - 4x + x^2 \)
3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 4x - 5x + 4 + 10 = 0 \)
4. Упростим: \( x^2 - 9x + 14 = 0 \)
5. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 \)
6. Найдем корни уравнения: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
7. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение.
8. Проверка для \( x = 7 \): \( \sqrt{5 \cdot 7 - 10} = \sqrt{35 - 10} = \sqrt{25} = 5 \). Правая часть: \( 2 - 7 = -5 \). Так как \( 5 \neq -5 \), то \( x = 7 \) — посторонний корень.
9. Проверка для \( x = 2 \): \( \sqrt{5 \cdot 2 - 10} = \sqrt{10 - 10} = \sqrt{0} = 0 \). Правая часть: \( 2 - 2 = 0 \). Так как \( 0 = 0 \), то \( x = 2 \) — верный корень.

Ответ: x = 2.