Solve the equation: log(x-1) + log(3x-5) = 3.

Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала объединим логарифмы в левой части:

\( \log((x-1)(3x-5)) = 3 \)

Теперь перепишем уравнение в экспоненциальной форме:

\( (x-1)(3x-5) = 10^3 \)

Раскроем скобки и упростим:

\( 3x^2 - 5x - 3x + 5 = 1000 \)

\( 3x^2 - 8x + 5 - 1000 = 0 \)

\( 3x^2 - 8x - 995 = 0 \)

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-995) = 64 + 11940 = 12004 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{12004}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 3001}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{3001}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{3001}}{3} \]

Получаем два потенциальных корня:

\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{3001}}{3} \]

\[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{3001}}{3} \]

Проверим условия существования логарифмов: \( x-1 > 0 \) и \( 3x-5 > 0 \), что означает \( x > 1 \).

Приблизительное значение \( \sqrt{3001} \) равно примерно \( 54.78 \).

\( x_1 \approx \frac{4 + 54.78}{3} = \frac{58.78}{3} \approx 19.59 \). Этот корень удовлетворяет условию \( x > 1 \).

\( x_2 \approx \frac{4 - 54.78}{3} = \frac{-50.78}{3} \approx -16.93 \). Этот корень не удовлетворяет условию \( x > 1 \).

Следовательно, подходит только один корень.

Ответ: \( x = \frac{4 + \sqrt{3001}}{3} \).