Solve the equation: 6cos^2(x) + 5sin(x) - 7 = 0

Решение:

Для решения уравнения используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \), выразим \( \cos^2{x} \) как \( 1 - \sin^2{x} \).

1. Подставим в уравнение: \( 6(1 - \sin^2{x}) + 5\sin{x} - 7 = 0 \)
2. Раскроем скобки: \( 6 - 6\sin^2{x} + 5\sin{x} - 7 = 0 \)
3. Приведём подобные члены: \( -6\sin^2{x} + 5\sin{x} - 1 = 0 \)
4. Умножим на -1 для удобства: \( 6\sin^2{x} - 5\sin{x} + 1 = 0 \)
5. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin{x} \). Получим квадратное уравнение: \( 6t^2 - 5t + 1 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \)
7. Найдем корни \( t \): \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \); \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
8. Вернемся к замене:
• \( \sin{x} = \frac{1}{2} \), откуда \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
• \( \sin{x} = \frac{1}{3} \), откуда \( x = \arcsin{\left(\frac{1}{3}\right)} + 2\pi k \) или \( x = \pi - \arcsin{\left(\frac{1}{3}\right)} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \arcsin{\left(\frac{1}{3}\right)} + 2\pi k \), \( x = \pi - \arcsin{\left(\frac{1}{3}\right)} + 2\pi k \), где \( n, k \) — целые числа.