Solve the equation: 3/(x+2) + x/3 = 4

Решение:

Для решения уравнения \( \frac{3}{x+2} + \frac{x}{3} = 4 \) приведём дроби к общему знаменателю и решим полученное квадратное уравнение.

1. Найдем общий знаменатель для дробей \( \frac{3}{x+2} \) и \( \frac{x}{3} \). Общий знаменатель равен \( 3(x+2) \).
2. Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{3 \cdot 3}{3(x+2)} + \frac{x(x+2)}{3(x+2)} = 4 \]
3. Упростим числитель: \[ \frac{9 + x^2 + 2x}{3(x+2)} = 4 \]
4. Раскроем скобки в знаменателе: \[ \frac{x^2 + 2x + 9}{3x + 6} = 4 \]
5. Умножим обе части уравнения на \( 3x + 6 \) (при условии \( x \neq -2 \)): \[ x^2 + 2x + 9 = 4(3x + 6) \]
6. Раскроем скобки и перенесём все члены уравнения в одну сторону: \[ x^2 + 2x + 9 = 12x + 24 \] \[ x^2 + 2x - 12x + 9 - 24 = 0 \] \[ x^2 - 10x - 15 = 0 \]
7. Решим полученное квадратное уравнение \( x^2 - 10x - 15 = 0 \) с помощью дискриминанта.
8. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 100 + 60 = 160 \]
9. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
10. Найдём корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{10 + \sqrt{160}}{2} = \frac{10 + 4\sqrt{10}}{2} = 5 + 2\sqrt{10} \] \[ x_2 = \frac{10 - \sqrt{160}}{2} = \frac{10 - 4\sqrt{10}}{2} = 5 - 2\sqrt{10} \]
11. Проверим, не равны ли корни \( -2 \). \( 5 + 2\sqrt{10} \neq -2 \) и \( 5 - 2\sqrt{10} \neq -2 \).

Ответ: \( x_1 = 5 + 2\sqrt{10}, x_2 = 5 - 2\sqrt{10} \).