Solve the equation: \(2 \frac{3}{5} : (x + 1 \frac{3}{14}) - 1 \frac{2}{5} = \frac{1}{7}\)

Решение:

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \( 2 \frac{3}{5} = \frac{13}{5} \) и \( 1 \frac{2}{5} = \frac{7}{5} \).
2. Исходное уравнение примет вид: \( \frac{13}{5} : (x + 1 \frac{3}{14}) - \frac{7}{5} = \frac{1}{7} \).
3. Перенесём \( \frac{7}{5} \) в правую часть уравнения: \( \frac{13}{5} : (x + 1 \frac{3}{14}) = \frac{1}{7} + \frac{7}{5} \).
4. Приведём правую часть к общему знаменателю: \( \frac{1}{7} + \frac{7}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 7 \cdot 7}{35} = \frac{5 + 49}{35} = \frac{54}{35} \).
5. Теперь уравнение выглядит так: \( \frac{13}{5} : (x + 1 \frac{3}{14}) = \frac{54}{35} \).
6. Выразим неизвестную часть: \( x + 1 \frac{3}{14} = \frac{13}{5} : \frac{54}{35} \).
7. Деление заменим умножением на обратную дробь: \( x + 1 \frac{3}{14} = \frac{13}{5} \cdot \frac{35}{54} \).
8. Сократим дробь: \( \frac{13}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{35}_7}{54} = \frac{13 \cdot 7}{54} = \frac{91}{54} \).
9. Переведём \( 1 \frac{3}{14} \) в неправильную дробь: \( 1 \frac{3}{14} = \frac{17}{14} \).
10. Уравнение стало: \( x + \frac{17}{14} = \frac{91}{54} \).
11. Выразим \( x \): \( x = \frac{91}{54} - \frac{17}{14} \).
12. Приведём к общему знаменателю (НОК(54, 14) = 378): \( x = \frac{91 \cdot 7}{378} - \frac{17 \cdot 27}{378} = \frac{637 - 459}{378} = \frac{178}{378} \).
13. Сократим дробь: \( x = \frac{178 \div 2}{378 \div 2} = \frac{89}{189} \).

Ответ: \( x = \frac{89}{189} \).