Solve the equation: \(2\cos 4x - 1 = 0\)

Решение:

Чтобы решить уравнение \(2\cos 4x - 1 = 0\), сначала выделим \(\cos 4x\):

1. Перенесем 1 в правую часть: \( 2\cos 4x = 1 \)
2. Разделим обе части на 2: \( \cos 4x = \frac{1}{2} \)
3. Теперь найдем значения \( 4x \), для которых косинус равен \( \frac{1}{2} \). Это значения \( \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) и \( -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.
4. Приравняем \( 4x \) к этим значениям:
• \( 4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)
• \( 4x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \)
5. Разделим обе части каждого уравнения на 4, чтобы найти \( x \):
• \( x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \)
• \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \)

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).