Solve the equation: 2.5x \(\cdot\) \(\sqrt{x-3}\) + x^2 \(\cdot\) \(\sqrt{x-3}\) = 0

Решение:

Данное уравнение содержит корень \( \sqrt{x-3} \), поэтому область допустимых значений (ОДЗ) для \( x \) определяется условием \( x-3 \ge 0 \), что означает \( x \ge 3 \).

Вынесем общий множитель \( \sqrt{x-3} \) за скобки:

\[ \sqrt{x-3} \left( 2.5x + x^2 \right) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. \( \sqrt{x-3} = 0 \)

Возведём обе части в квадрат:

\[ x-3 = 0 \]

\[ x = 3 \]

Это значение удовлетворяет ОДЗ \( x \ge 3 \).

2. \( 2.5x + x^2 = 0 \)

Вынесем общий множитель \( x \) за скобки:

\[ x(2.5 + x) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных решения:

• \( x = 0 \)
• \( 2.5 + x = 0 \(\Rightarrow\) \( x = -2.5 \)

Однако, эти значения \( x=0 \) и \( x=-2.5 \) не удовлетворяют условию ОДЗ \( x \ge 3 \).

Таким образом, единственным решением уравнения является \( x=3 \).

Ответ: x = 3.