Solve the equation: |16 - 2x| = 3x + 1.

Решение:

Данное уравнение является уравнением с модулем. Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно.
   \( 16 - 2x \ge 0 \Rightarrow 2x \le 16 \Rightarrow x \le 8 \)
   В этом случае \( |16 - 2x| = 16 - 2x \).
   Уравнение примет вид: \( 16 - 2x = 3x + 1 \)
   \( 16 - 1 = 3x + 2x \)
   \( 15 = 5x \)
   \( x = \frac{15}{5} \)
   \( x = 3 \)
   Проверим условие \( x \le 8 \): \( 3 \le 8 \) — верно.
2. Случай 2: Выражение под модулем отрицательно.
   \( 16 - 2x < 0 \Rightarrow 2x > 16 \Rightarrow x > 8 \)
   В этом случае \( |16 - 2x| = -(16 - 2x) = 2x - 16 \).
   Уравнение примет вид: \( 2x - 16 = 3x + 1 \)
   \( -16 - 1 = 3x - 2x \)
   \( -17 = x \)
   Проверим условие \( x > 8 \): \( -17 > 8 \) — неверно. Этот корень не подходит.

Также необходимо проверить, что правая часть уравнения \( 3x + 1 \) неотрицательна, так как модуль всегда неотрицателен.

Для \( x = 3 \): \( 3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10 \). \( 10 \ge 0 \) — верно.

Ответ: x = 3.