Сократите дробь 5a-a2 5+34a-7a2

Ответ: \(\frac{a}{7a+1}\)

1. Шаг 1: Разложение числителя на множители

   Вынесем общий множитель a за скобки в числителе:

   \[5a - a^2 = a(5 - a)\]
2. Шаг 2: Разложение знаменателя на множители

   Разложим квадратный трехчлен 5 + 34a - 7a². Сначала найдем корни уравнения:

   \[-7a^2 + 34a + 5 = 0\]

   Умножим на -1 для удобства: \[7a^2 - 34a - 5 = 0\]

   Найдем дискриминант: \[D = (-34)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 1156 + 140 = 1296\]

   Вычислим корни:

   \[a_1 = \frac{34 + \sqrt{1296}}{2 \cdot 7} = \frac{34 + 36}{14} = \frac{70}{14} = 5\] \[a_2 = \frac{34 - \sqrt{1296}}{2 \cdot 7} = \frac{34 - 36}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}\]

   Тогда квадратный трехчлен можно разложить так: \[-7a^2 + 34a + 5 = -7(a - 5)(a + \frac{1}{7}) = (5 - a)(7a + 1)\]

3. Шаг 3: Сокращение дроби

   Исходная дробь имеет вид:

   \[\frac{5a - a^2}{5 + 34a - 7a^2} = \frac{a(5 - a)}{(5 - a)(7a + 1)}\]

   Сокращаем дробь на общий множитель (5 - a):

   \[\frac{a(5 - a)}{(5 - a)(7a + 1)} = \frac{a}{7a + 1}\]

Ответ: \(\frac{a}{7a+1}\)