Сократите дробь: a) 4x + 4/3x²+2x-1; б) 2a²-5a-3/3a-9

Решение:

a) \(\frac{4x + 4}{3x^2 + 2x - 1}\)

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\(4x + 4 = 4(x + 1)\)

Для разложения квадратного трехчлена \(3x^2 + 2x - 1\) на множители, найдем его корни:

\(3x^2 + 2x - 1 = 0\)

\(D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16\)

\(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

\(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1\)

Тогда \(3x^2 + 2x - 1 = 3(x - \frac{1}{3})(x + 1) = (3x - 1)(x + 1)\)

Сокращаем дробь:

\(\frac{4(x + 1)}{(3x - 1)(x + 1)} = \frac{4}{3x - 1}\)

б) \(\frac{2a^2 - 5a - 3}{3a - 9}\)

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\(3a - 9 = 3(a - 3)\)

Для разложения квадратного трехчлена \(2a^2 - 5a - 3\) на множители, найдем его корни:

\(2a^2 - 5a - 3 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\)

\(a_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3\)

\(a_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)

Тогда \(2a^2 - 5a - 3 = 2(a - 3)(a + \frac{1}{2}) = (a - 3)(2a + 1)\)

Сокращаем дробь:

\(\frac{(a - 3)(2a + 1)}{3(a - 3)} = \frac{2a + 1}{3}\)

Ответ: а) \(\frac{4}{3x - 1}\); б) \(\frac{2a + 1}{3}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!