Сократите дробь 7m² + 7m + 7 / m³ - 1

Решение:

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \( 7m^2 + 7m + 7 \)
Можно вынести общий множитель 7: \( 7(m^2 + m + 1) \).

Знаменатель: \( m^3 - 1 \)
Это разность кубов. Используем формулу \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \).
В нашем случае \( a=m \) и \( b=1 \).
Значит, \( m^3 - 1 = (m-1)(m^2+m+1) \).

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{7(m^2+m+1)}{(m-1)(m^2+m+1)} $$

Видим, что множитель \( (m^2+m+1) \) присутствует и в числителе, и в знаменателе. Сокращаем его (при условии, что \( m^2+m+1 \neq 0 \). Дискриминант этого квадратного трёхчлена \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0 \), следовательно, \( m^2+m+1 \) всегда больше нуля и не равно нулю).

$$ \frac{7}{m-1} $$

Ответ: \( \frac{7}{m-1} \)