2. Сократите дробь: \[\frac{a-b}{a^{1/3}-b^{1/3}}\]

Привет! Давай сократим дробь по шагам. Нам нужно упростить выражение:

\[\frac{a-b}{a^{1/3}-b^{1/3}}\]

Заметим, что числитель можно представить как разность кубов:

\[a - b = (a^{1/3})^3 - (b^{1/3})^3\]

Теперь вспомним формулу разности кубов: \[x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)\]

В нашем случае: \[x = a^{1/3}\] и \[y = b^{1/3}\]

Тогда числитель можно переписать как:

\[(a^{1/3})^3 - (b^{1/3})^3 = (a^{1/3} - b^{1/3})((a^{1/3})^2 + a^{1/3}b^{1/3} + (b^{1/3})^2)\]

Что упрощается до:

\[(a^{1/3} - b^{1/3})(a^{2/3} + a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3})\]

Теперь подставим это в исходную дробь:

\[\frac{(a^{1/3} - b^{1/3})(a^{2/3} + a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3})}{a^{1/3} - b^{1/3}}\]

Теперь можно сократить общие множители: \[(a^{1/3} - b^{1/3})\] в числителе и знаменателе:

\[\frac{(a^{1/3} - b^{1/3})(a^{2/3} + a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3})}{a^{1/3} - b^{1/3}} = a^{2/3} + a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3}\]

Ответ: \[a^{2/3} + a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3}\]

Отлично, ты справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!