Сократите: a) (a² * a⁴) / a⁸ б) (2a³b⁴)² в) (2⁴ * 2⁸) / (2¹⁵ * 2³)

Решение:

а) \( \frac{a^2 \cdot a^4}{a^8} \)

1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
   a² \(\cdot\) a⁴ = a^{2+4} = a⁶
2. Теперь уравнение выглядит так:
   \( \frac{a^6}{a^8} \)
3. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
   a^{6-8} = a^{-2}
4. Отрицательный показатель степени означает, что основание находится в знаменателе:
   \( a^{-2} = \frac{1}{a^2} \)

б) \( (2a^3b^4)^2 \)

1. При возведении степени в степень показатели перемножаются:
   (a³)² = a^{3*2} = a⁶
(b⁴)² = b^{4*2} = b⁸
2. Число также возводится в степень:
   2² = 4
3. Объединяем всё вместе:
   4a⁶b⁸

в) \( \frac{2^4 \cdot 2^8}{2^{15} \cdot 2^3} \)

1. В числителе и знаменателе складываем показатели степеней с одинаковым основанием:
   Числитель: 2⁴ \(\cdot\) 2⁸ = 2^{4+8} = 2^{12}
Знаменатель: 2¹⁵ \(\cdot\) 2³ = 2^{15+3} = 2^{18}
2. Теперь уравнение выглядит так:
   \( \frac{2^{12}}{2^{18}} \)
3. Делим степени с одинаковым основанием:
   2^{12-18} = 2^{-6}
4. Отрицательный показатель степени означает, что основание находится в знаменателе:
   \( 2^{-6} = \frac{1}{2^6} \)
5. Вычисляем значение:
   2⁶ = 64
\( \frac{1}{64} \)

Ответ: а) \( \frac{1}{a^2} \); б) \( 4a^6b^8 \); в) \( \frac{1}{64} \).