Сократи дробь и заполни пропуск \(\frac{2^5 \cdot 5^4 \cdot 13^3}{13 \cdot 2^6 \cdot 5^5 \cdot 13^2} = ?\)

Решение:

Для сокращения дроби используем свойства степеней \( a^m : a^n = a^{m-n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

Перепишем дробь, сгруппировав основания:

\[ \frac{2^5 \cdot 5^4 \cdot 13^3}{13^1 \cdot 2^6 \cdot 5^5 \cdot 13^2} = \frac{2^5}{2^6} \cdot \frac{5^4}{5^5} \cdot \frac{13^3}{13^1 \cdot 13^2} \]\[ = 2^{5-6} \cdot 5^{4-5} \cdot 13^{3-(1+2)} \]\[ = 2^{-1} \cdot 5^{-1} \cdot 13^{3-3} \]\[ = 2^{-1} \cdot 5^{-1} \cdot 13^0 \]\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot 1 \]\[ = \frac{1}{10} \]

Ответ: 0.1