Собственная скорость катера 15 км/ч, скорость течения 3 км/ч. Найдите расстояние между пристанями, если по течению реки катер проходит это расстояние на полчаса быстрее, чем против течения.

Решение задачи про катер

Привет! Давай разберёмся с этой задачей вместе. Нам нужно найти расстояние между пристанями.

Дано:

• Собственная скорость катера: \( v_к = 15 \) км/ч.
• Скорость течения реки: \( v_т = 3 \) км/ч.
• Время в пути по течению на \( 0.5 \) часа меньше, чем против течения.

Найти: Расстояние между пристанями \( S \).

Решение:

1. Сначала определим скорость катера по течению и против течения.
• По течению: \( v_{по} = v_к + v_т = 15 + 3 = 18 \) км/ч.
• Против течения: \( v_{против} = v_к - v_т = 15 - 3 = 12 \) км/ч.
2. Теперь выразим время, которое катер тратит на путь в каждом направлении. Время = Расстояние / Скорость.
• Время по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{18} \) часов.
• Время против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{12} \) часов.
3. По условию задачи, время движения по течению на 0.5 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:
• \( t_{по} = t_{против} - 0.5 \)
• \( \frac{S}{18} = \frac{S}{12} - 0.5 \)
4. Теперь решим это уравнение, чтобы найти \( S \). Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) чисел 18 и 12. НОК(18, 12) = 36.
• \( 36 \cdot \frac{S}{18} = 36 \cdot \frac{S}{12} - 36 \cdot 0.5 \)
• \( 2S = 3S - 18 \)
• Перенесём \( 2S \) вправо, а 18 влево:
• \( 18 = 3S - 2S \)
• \( 18 = S \)

Проверим:

• Время по течению: \( t_{по} = \frac{18}{18} = 1 \) час.
• Время против течения: \( t_{против} = \frac{18}{12} = 1.5 \) часа.
• Разница во времени: \( 1.5 - 1 = 0.5 \) часа. Всё сходится!

Ответ: Расстояние между пристанями равно 18 км.