Случайные величины X, Y имеют математические ожидания MX= - 5, MY= 2, дисперсии DX=0,5, DY=0,4 и ковариацию cov (X,Y)=0,2. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=4X-5Y+25.

Решение:

Дано:

• \( MX = -5 \)
• \( MY = 2 \)
• \( DX = 0.5 \)
• \( DY = 0.4 \)
• \( cov(X,Y) = 0.2 \)

Найти:

• \( MZ \)
• \( DZ \)

Случайная величина \( Z = 4X - 5Y + 25 \).

1. Находим математическое ожидание \( MZ \):

Математическое ожидание суммы/разности случайных величин равно сумме/разности их математических ожиданий. Математическое ожидание константы равно самой константе.

• \( MZ = M(4X - 5Y + 25) \)
• \( MZ = 4 \cdot MX - 5 \cdot MY + 25 \)
• \( MZ = 4 \cdot (-5) - 5 \cdot 2 + 25 \)
• \( MZ = -20 - 10 + 25 \)
• \( MZ = -30 + 25 \)
• \( MZ = -5 \)

2. Находим дисперсию \( DZ \):

Дисперсия линейной комбинации случайных величин вычисляется по формуле:

\( D(aX + bY + c) = a^2 DX + b^2 DY + 2ab \cdot cov(X,Y) \)

• \( DZ = D(4X - 5Y + 25) \)
• \( DZ = 4^2 \cdot DX + (-5)^2 \cdot DY + 2 \cdot 4 \cdot (-5) \cdot cov(X,Y) \)
• \( DZ = 16 \cdot 0.5 + 25 \cdot 0.4 + 2 \cdot 4 \cdot (-5) \cdot 0.2 \)
• \( DZ = 8 + 10 - 80 \cdot 0.2 \)
• \( DZ = 18 - 16 \)
• \( DZ = 2 \)

Согласно расчетам, \( MZ = -5 \) и \( DZ = 2 \).

Сравниваем с предложенными вариантами:

• a. \( MZ = -4, DZ = 8 \)
• b. нет верных ответов
• c. \( MZ = -6, DZ = 10 \)
• d. \( MZ = -5, DZ = 9 \)

Ни один из предложенных вариантов не совпадает с нашими расчетами.

Ответ: b. нет верных ответов