75. Случайные величины \( X, Y \) независимы и имеют биномиальные распределения \( Bin(n, p) \) и \( Bin(m, p) \) соответственно. Докажите, что случайная величина \( X + Y \) будет иметь биномиальное распределение \( Bin(n + m, p) \).

Ответ:

Пусть \( X \) имеет биномиальное распределение \( Bin(n, p) \), и \( Y \) имеет биномиальное распределение \( Bin(m, p) \). Это означает, что \( X \) — число успехов в \( n \) независимых испытаниях Бернулли, каждое с вероятностью успеха \( p \), и \( Y \) — число успехов в \( m \) независимых испытаниях Бернулли, каждое с вероятностью успеха \( p \).

Случайная величина \( X + Y \) представляет собой общее число успехов в \( n + m \) независимых испытаниях Бернулли, каждое с вероятностью успеха \( p \). Таким образом, \( X + Y \) имеет биномиальное распределение с параметрами \( n + m \) и \( p \), то есть \( X + Y \sim Bin(n + m, p) \).

Вероятность того, что \( X = k \), равна \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \), где \( k = 0, 1, ..., n \). Вероятность того, что \( Y = l \), равна \( P(Y = l) = \binom{m}{l} p^l (1-p)^{m-l} \), где \( l = 0, 1, ..., m \).

Нам нужно найти распределение для \( Z = X + Y \). Вероятность того, что \( Z = r \), где \( r = 0, 1, ..., n+m \), равна:

\[ P(Z = r) = P(X + Y = r) = \sum_{k=0}^{r} P(X = k, Y = r - k) \]

Поскольку \( X \) и \( Y \) независимы, \( P(X = k, Y = r - k) = P(X = k) P(Y = r - k) \). Следовательно:

\[ P(Z = r) = \sum_{k=0}^{r} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \binom{m}{r-k} p^{r-k} (1-p)^{m-(r-k)} \]

\[ P(Z = r) = \sum_{k=0}^{r} \binom{n}{k} \binom{m}{r-k} p^r (1-p)^{n+m-r} \]

Используя тождество Вандермонда, \( \sum_{k=0}^{r} \binom{n}{k} \binom{m}{r-k} = \binom{n+m}{r} \). Таким образом:

\[ P(Z = r) = \binom{n+m}{r} p^r (1-p)^{n+m-r} \]

Это показывает, что \( Z = X + Y \) имеет биномиальное распределение с параметрами \( n + m \) и \( p \), то есть \( X + Y \sim Bin(n + m, p) \).