Здесь нужно выбрать правильный вариант написания слова с предлогом или наречием.
В данном случае «вовсю» является наречием, которое обозначает «с большой силой, энергично». Оно пишется слитно.
Правильный вариант: Вовсю эту историю было сложно поверить.
В предложении «Все силы потрачены впустую» слово «впустую» — это наречие, которое пишется слитно. Оно отвечает на вопрос «как?» и означает «напрасно, тщетно».
Правильный вариант: Все силы потрачены впустую.
В предложении «Волосы его были наполовину седые» слово «наполовину» — это наречие, которое пишется слитно. Оно обозначает «в равной степени» или «частично».
Правильный вариант: Волосы его были наполовину седые.
В предложении «В пустую руку папа взял ведро» слово «пустую» — это прилагательное, а «в» — предлог. Они пишутся раздельно, так как предлог «в» относится к прилагательному «пустую», которое, в свою очередь, описывает существительное «руку».
Правильный вариант: В пустую руку папа взял ведро.
Ответ: