Скорости катера по течению реки и против течения относятся как 5:4. В 8:00 катер вышел из пункта А и прошёл 80 км вверх по течению реки до пункта Б. Там он сделал остановку длительностью 2 часа, а затем отправился обратно в пункт А. Найдите время прибытия катера в пункт А, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

1. Обозначим скорость катера в стоячей воде как \(v_к\) км/ч, а скорость течения реки как \(v_т\) км/ч.
2. Из условия известно, что \(v_т = 2\) км/ч.
3. Скорость катера по течению: \(v_{по\;т} = v_к + v_т = v_к + 2\) км/ч.
4. Скорость катера против течения: \(v_{против\;т} = v_к - v_т = v_к - 2\) км/ч.
5. По условию, скорости относятся как 5:4, значит: \(\frac{v_{по\;т}}{v_{против\;т}} = \frac{5}{4}\).
6. Подставим выражения для скоростей: \(\frac{v_к + 2}{v_к - 2} = \frac{5}{4}\).
7. Решим уравнение: \(4(v_к + 2) = 5(v_к - 2)\) \(4v_к + 8 = 5v_к - 10\) \(v_к = 18\) км/ч.
8. Скорость катера против течения: \(v_{против\;т} = v_к - v_т = 18 - 2 = 16\) км/ч.
9. Время в пути от пункта А до пункта Б (вверх по течению, но условие говорит, что он прошёл 80 км вверх по течению реки ДО пункта Б, значит это было движение против течения, если пункт Б дальше от истока, или по течению, если пункт Б ближе к истоку. Обычная практика - вверх по течению против течения. Проверим оба варианта, если задача не имеет однозначности. Учитывая, что пункт А и Б, и движение ВВЕРХ по течению, это против течения.), но в задаче сказано "прошёл 80 км вверх по течению реки до пункта Б". Чаще всего "вверх по течению" означает против течения. Проверим это.
10. Если движение ОТ А ДО Б - это ВВЕРХ по течению (против течения):
11. Время в пути из А в Б: \(t_{АБ} = \frac{80}{v_к - v_т} = \frac{80}{18 - 2} = \frac{80}{16} = 5\) часов.
12. Катер вышел в 8:00. Прибыл в Б в \(8:00 + 5\) часов = 13:00.
13. Остановка длилась 2 часа.
14. Катер отправился обратно в А в \(13:00 + 2\) часа = 15:00.
15. Движение из Б в А (вниз по течению, по течению):
16. Скорость катера по течению: \(v_{по\;т} = v_к + v_т = 18 + 2 = 20\) км/ч.
17. Время в пути из Б в А: \(t_{БА} = \frac{80}{v_к + v_т} = \frac{80}{18 + 2} = \frac{80}{20} = 4\) часа.
18. Время прибытия в пункт А: \(15:00 + 4\) часа = 19:00.
19. Если же "вверх по течению" означало движение ПО течению, то:
20. Скорость катера по течению: \(v_{по\;т} = 18 + 2 = 20\) км/ч.
21. Время в пути из А в Б: \(t_{АБ} = \frac{80}{20} = 4\) часа.
22. Катер вышел в 8:00. Прибыл в Б в \(8:00 + 4\) часа = 12:00.
23. Остановка длилась 2 часа.
24. Катер отправился обратно в А в \(12:00 + 2\) часа = 14:00.
25. Движение из Б в А (вверх по течению, против течения):
26. Скорость катера против течения: \(v_{против\;т} = 18 - 2 = 16\) км/ч.
27. Время в пути из Б в А: \(t_{БА} = \frac{80}{16} = 5\) часов.
28. Время прибытия в пункт А: \(14:00 + 5\) часов = 19:00.
29. В обоих случаях время прибытия в пункт А — 19:00.

Ответ: 19:00.