18.4. Сколько существует различных треугольников, длины двух сторон которых равны 3 и 7, а длина третьей - целое число?

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Пусть третья сторона имеет длину $$x$$. Тогда должны выполняться следующие неравенства: 1. $$3 + 7 > x$$ 2. $$3 + x > 7$$ 3. $$7 + x > 3$$ Из первого неравенства получаем: $$10 > x$$ или $$x < 10$$. Из второго неравенства получаем: $$x > 7 - 3$$ или $$x > 4$$. Из третьего неравенства получаем: $$x > 3 - 7$$ или $$x > -4$$. Это неравенство всегда выполняется, так как длина стороны не может быть отрицательной. Таким образом, $$x$$ должно удовлетворять условиям $$4 < x < 10$$. Поскольку длина третьей стороны - целое число, возможные значения для $$x$$ это 5, 6, 7, 8, и 9. Подсчитаем количество возможных значений для $$x$$: 5, 6, 7, 8, 9. Всего 5 значений. Следовательно, существует 5 различных треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. **Ответ: 5**