Сколько существует прямых в плоскости $$ABC$$, проходящих через какие-либо две точки из точек $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ параллельно плоскости $$A_1BC$$ и не принадлежащих ей?

Плоскость $$A_1BC$$ пересекает плоскость $$ABC$$ по прямой $$BC$$. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна линии пересечения этих плоскостей, т.е. прямой $$BC$$.

На плоскости $$ABC$$ есть следующие прямые, проходящие через точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$:

• $$AB$$, $$AC$$, $$BC$$

Из этих прямых только прямая $$BC$$ лежит в плоскости $$A_1BC$$, поскольку $$BC$$ является линией пересечения этих плоскостей.

Прямая, проходящая через точку $$A$$ и параллельная $$BC$$ - это прямая, которая проходит через точку $$A$$ и параллельна $$BC$$. На плоскости $$ABC$$ прямая, проходящая через точку $$A$$ и параллельная $$BC$$, не проходит ни через одну из точек $$B$$, $$C$$ или $$D$$. Поскольку, если она проходит через $$B$$ или $$C$$, то она совпадает с прямой $$BC$$, которая уже лежит в плоскости $$A_1BC$$. Если она проходит через точку $$D$$, то такая прямая не лежит в плоскости $$ABC$$.

Других прямых, которые проходили бы через две из заданных точек и были бы параллельны плоскости $$A_1BC$$, не существует.

Таким образом, прямых в плоскости $$ABC$$, проходящих через какие-либо две точки из точек $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ параллельно плоскости $$A_1BC$$ и не принадлежащих ей, не существует.

Ответ: 0